Lire cette proposition

[invite953337e7]

Bonjour,
J'ai un peu de mal à lire la proposition suivante :

Je ne comprend pas ce que designe N (un réel ? un entier ? et dans ce cas, qu'est-ce que N indice e ?). Désolé si c'est trivial comme question, mais cette expression est reprise dans une bonne partie de mon cours, du coup je suis un peu bloqué.

Merci.
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[Médiat]

Bonjour,

Il faut lire :

[gg0]

Bonjour.

est exactement l'entier N (c'est bien ce que signifie le = entre les deux : = veut dire "c'est la même chose sous deux présentations différentes). Cette notation un peu elliptique veut rappeler que la valeur de N dépend de ; ce qui est normal puisqu'on en parle après.


Traduisons cette formule ésotérique (si tu as suivi un cours, ton prof l'a normalement fait) :

Quel que soit le petit nombre epsilon, aussi petit soit-il, on va pouvoir trouver un entier (le N) tel que lorsque les indices sont supérieurs à N, pour tous ces indices suffisamment grands, u_n sera très proche de l, à moins de epsilon de distance.
Autrement dit, en prenant des indices suffisamment grands, on arrivera à rendre u_n aussi proche de l que l'on veut.
Tu as bien sur reconnu dans |u_n-l| la distance entre ces deux nombres, la différence entre eux sans son signe (2 est à une distance 1 de 3).
Dans la définition, on a épuré tout ce qui n'est pas utile, comme le aussi petit soit-il (si c'est vrai pour des petits nombres, c'est encore plus vrai pour des grands).

Cordialement.

[invite953337e7]

Merci beaucoup pour cette réponse rapide, c'est beaucoup plus compréhensible quand ce n'est pas abrégé.
Du coup si je ré-écris en français : Pour tout epsilon réel strictement positif, il existe N entier naturel tel que que pour tout n€N, n supérieur à N implique que la valeur absolue de Un - l est inférieur à epsilon. J'ai bon ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite953337e7]

Je n'avais pas vu ta réponse gg0, merci beaucoup pour cette explication détailléeil demeure juste une interrogation : qu'est-ce qui te fait dire dans la formule que epsilon est un petit nombre ? Le fait qu'on écrive N = Ne ?

[Médiat]

Merci beaucoup pour cette réponse rapide, c'est beaucoup plus compréhensible quand ce n'est pas abrégé.
Du coup si je ré-écris en français : Pour tout epsilon réel strictement positif, il existe N entier naturel tel que que pour tout n€N, n supérieur à N implique que la valeur absolue de Un - l est inférieur à epsilon. J'ai bon ?

Oui, c'est bien cela, et cela montre bien que ne sert à rien (mathématiquement, il "peut" avoir un intérêt pédagogique)

[gg0]

Non,

c'est l'idée de la limite : On veut que u_n se rapproche de l. Et la notation est généralement utilisée pour dire un nombre strictement positif, aussi petit que l'on veut.
mais si tu as lu la fin de mon message, j'explique justement qu'on s'en moque qu'il soit petit. Cependant, en général, la difficulté est pour petit.
Par exemple, pour justifier que a comme limite 1, se poser la question de savoir si est inférieur à 200 est assez inutile (u_n est entre 0 et 1). Il est moins évident de trouver à partir de quand est inférieur à 0,00001 (même si c'est facile ici).

Cordialement.

[invite9dc7b526]

Ce n'est pas précisé dans l'énoncé, et donc rien ne s'oppose à ce que N soit un réel non entier. C'est par habitude que mes illustres prédécesseurs dans ce débat ont supposé N entier.

[gg0]

A priori,

effectivement, on pourrait décider cela. Mais comme on ne compare N qu'à des entiers, inutile de le prendre dans un autre ensemble que celui des indices.
Et dans l'interprétation simpliste que j'ai donnée, c'est bien un entier (à partir d'un certain indice, ça marche).

Cordialement.

[Médiat]

Ce n'est pas précisé dans l'énoncé, et donc rien ne s'oppose à ce que N soit un réel non entier. C'est par habitude que mes illustres prédécesseurs dans ce débat ont supposé N entier.

Dans l'énoncé, il est question d'une suite, donc n appartient à un ordinal (et surement pas aux réels), je doute que dans ce cas précis ce puisse être autre chose que les entiers !