Comprendre les groupes

[invite50ab1a1f]

Bonjour à tous,
Je viens d'entrer en L2 mathématiques. En arthmétique nous avons commmencé par les groupes !! et c'est la CATAAA !! j'ai du mal à comprendre toutes les notions de ce chapitre. pourriez vous m'aider à éclaircir tout ca dans ma tête ?
J'ai totalement compris les conditions pour lesquelles nous avons un groupe et par la suite un sous groupe : pour ca pas de problème.
Ensuite, nous avons abordé les classes modulo un sous groupe.
soit G un groupe x un élément de ce groupe et H un sous groupe de G.
Si jai bien compris pour les groupes additifs x et y sont en relaion si x-y appartient à H donc on dit que la classe d'équivalence de x modulo H est l'ensemble des x+h tel que h appartient à H.
et pour les groupes multiplicatis x et y sont en relation si (1/X)y apprtient à H on dit donc que la classe d'équivalence de x modulo H est l'ensemble Xh.
puis apres vient la notion d'ensemble quotient de G modulo H qui serait donc l'ensemble des classes des éléments de G modulo H, cette notion est très flou pour moi serait il possible de l'illustrer par un exemple ? par exemple avec le groupe Z/4Z ?
je vous remercie d'avance pour votre aide
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[invite9dc7b526]

Un "groupe multiplicatif" ça n'existe pas vraiment en théorie des groupes (ça existe dans les anneaux). En fait ça veut dire un groupe dont on note la loi par simple juxtaposition des éléments, au lieu d'insérer un "+" au milieu comme quand c'est additif. Donc un groupe multiplicatif c'est juste un groupe (par contre je ne sais pourquoi mais on ne note la loi additivment que pour les groupes abéliens). Ensuite, si on vous a parlé de quotients, on a dû vous parler de sous-groupe distingué.

Pour ce qui est de Z/4Z, le groupe de départ est Z, le sous-groupe est 4Z, c'est l'ensemble {...,-8,-4,0,4,8,...}. Ici la loi est commutative donc pas besoin de se demander si 4Z est distingué. La relation d'équivalence c'est x~y ssi x-y est dans 4Z, ou si tu préfères, si 4 divise x-y. Les classes d'équivalences modulo cette relation sont : la classe de 0 (qui est 4Z) la classe de 1 (qui est 1+4Z : i.e. l'ensemble des entiers qui s'écrivent 1+4x,), puis les classes de 2 et 3. En tout 4 classes d'équivalence, donc Z/4Z a 4 éléments. Il faut encore définir l'addition, ce qui se fait en décidant que la somme des classes de x et y est la classe de x+y (il faut vérifier que ça marche encore si on remplace x et y par d'autres éléments de leur classe).

[gg0]

Bonsoir.

On note additivement seulement des groupes abéliens parce que ça heurte trop l'intuition, une addition non commutative. par contre, des "multiplications non commutatives", on en rencontre comme le produit vectoriel ou la composition des applications d'un ensemble dans lui-même.

Attention Cam3.14, la notation 1/X n'a pas de sens (pas de 1 ni de division dans la plupart des groupes) même dans un groupe noté multiplicativement. Par contre, dans ce dernier cas, le symétrique de x est noté x^-1; ce qui ne pose aucun problème car soit il n'y a pas d'intérêt à la notion de puissance, soit ça fonctionne bien.

Dernière remarque : pas d'affolement, c'est un début de chapitre, tu t'habitueras vite. Simplement pense à des groupes autres que les groupes de nombres (vecteurs géométriques, bijections de [0;1] dans [0;1], permutations d'un ensemble fini, ...).

Cordialement.