Détermination diamètre d'un polygone

[invite358b8da9]

Bonjour à tous,

Je suis Géologue, et j'étudie des formations superficielles qui se présentent sous la forme de polygones en vue aérienne (en voici un exemple : *** Merci de respecter les règles concernant les images *** ). Ces polygones ont des formes aléatoires, et un nombre de côté variable.

Nous avons développé une technique nous permettant de mesurer le diamètre de ces polygones de façon assez rapide. Il s'agit de tracer des droites aléatoires dans l'image et d'analyser les différences de contrastes sur ces droites (les valeurs blanches correspondent aux côtés des polygones). On mesure donc de façon aléatoire la distance entre deux côtés de polygones. On s'est dit qu'en multipliant le nombre de transect (plusieurs droites par image, recoupant plusieurs dizaines de polygones) on aurait une valeur représentative du diamètre moyen des polygones de l'image.

Mais voilà, en comparant cette méthode (rapide, idéale si on a beaucoup d'images à analyser) avec une méthode qui consiste à tracer un à un les polygones permettant d'avoir des valeurs précises (sous arcgis, longue à mettre en place), on s'aperçoit que notre méthode à tendance à sous évaluer la taille moyenne des polygones.

On se demande donc s'il y a une explication mathématique à ces différences?
Existe-il une relation mathématique reliant une mesure aléatoire de distance entre deux côtés de polygones et la valeur réelle du diamètre de ce même polygone (c'est à dire passant par le centre de gravité) ?
Enfin, est-il possible de quantifier (si une telle relation existe) la sous-évaluation (ou sur-évaluation) du diamètre des polygones?

Merci d'avance pour vos réponses,
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[invite358b8da9]

Voici un exemple d'image de polygones.

[invite9dc7b526]

C'est normal que ta méthode soit biaisée, puisque le diamètre est la longueur maximale d'un segment dont les extrémités sont sur la frontière du polygone, alors que ta méthode donne une estimation (sans biais je pense) de la longueur moyenne. Et la moyenne est plus petite que le maximum.

[Médiat]

Bonjour,

Comment définissez-vous le diamètre d'un polynôme ? Peut-être comme le diamètre du cercle dans lequel il est inscrit, dans ce cas si vous avez un polygone, beaucoup plus long que large, les droites qui vont le couper dans la longueur, donnerons la bonne valeur et celles qui le coupent dans la largeur donnerons une valeur trop petite qui ne sera compensée par aucune valeur trop grande, d'ou la sous-estimation de la moyenne.

[EDIT]Grillé par minushabens

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9dc7b526]

@Médiat : grillé peut-être mais j'avais tort, la méthode de Jazz1 n'estime pas sans biais la moyenne. Ce serait le cas s'il prenait la moyenne des transects, mais il en prend le maximum.

On doit pouvoir calculer le biais de la méthode pour des formes simples, comme un cercle. Sinon il faut le faire par simulation.

[Médiat]

@minushabens : Comment calcule-t-on le maximum avec des droites aléatoires, il faudrait identifier chaque polygone et lui attribuer ses propres longueurs afin de choisir le maximum (et le maximum trouvé serait toujour inférieur (ou égal une fois de temps en temps) au maximum réel).

[invite358b8da9]

@minushabens : Un transect traverse plusieurs dizaines de polygones. On mesure chaque distance entre deux "valeurs blanches" c'est à dire entre deux côtés de polygones, puis on moyenne toutes ces valeurs pour chaque transect. Et enfin on moyenne les différents transects pour chaque image.

@Médiat : Pour moi, le diamètre d'un polygone c'est le diamètre du cercle auquel appartiennent ses sommets.

Donc si je comprends bien, ma méthode permet d'obtenir des valeurs moyenne de distance entre deux segments de polygone, tandis que le diamètre d'un polygone est forcément plus grand que cette distance. D'où ma sous-évaluation.

[Médiat]

[QUOTE=Jazz1;4977502
Donc si je comprends bien, ma méthode permet d'obtenir des valeurs moyenne de distance entre deux segments de polygone, tandis que le diamètre d'un polygone est forcément plus grand que cette distance. D'où ma sous-évaluation.[/QUOTE]Oui, c'est bien cela, et c'est même "doublement" biaisé, car si vous prenez un rectangle, par exemple, vous avez plus de chance de le traverser dans sa largeur que dans sa longueur, alors que c'est la longueur qui vous intéresse ...

[invite358b8da9]

Ce que je souhaite donc savoir c'est s'il existe une relation mathématique entre cette distance moyenne que je calcule avec ma méthode, et le diamètre moyen? Autrement dit, y'a t'il une relation entre la distance entre deux côté d'un polygone et la longueur de son diamètre?

[Médiat]

Sans contraintes supplémentaires (sur la forme "moyenne" des polygones), cela me paraît très difficile, et même si on a des contraintes je ne suis pas certain que cela soit simple.

Si les distributions de polygones sont raisonnablement comparables (d'un site à un autre), vous pouvez calculer expérimentalement les couples (calculé, réel) et faire une interpolation (à choisir).

[invite9dc7b526]

Moyennant quelques hypothèses, il existe une façon élégante de déterminer la surface moyenne d'un polygone. Si les polygones ne sont pas trop allongés, ça donne une idée du diamètre. Sinon, il existe des bibliothèques c ou Matlab qui font l'extraction et la labellisation de composantes connexes dans une image en 2 couleurs. Ensuite il y a un algorithme assez simple qui permet de déterminer le diamètre d'un polygone (au sens de : un ensemble fini de pixels). Ca ne marche bien qu'avec des polygones convexes je crois.

[invite358b8da9]

Moyennant quelques hypothèses, il existe une façon élégante de déterminer la surface moyenne d'un polygone. Si les polygones ne sont pas trop allongés, ça donne une idée du diamètre. Sinon, il existe des bibliothèques c ou Matlab qui font l'extraction et la labellisation de composantes connexes dans une image en 2 couleurs. Ensuite il y a un algorithme assez simple qui permet de déterminer le diamètre d'un polygone (au sens de : un ensemble fini de pixels). Ca ne marche bien qu'avec des polygones convexes je crois.

Auriez vous un lien, un article, ou une source me permettant de jeter un oeil à cette méthode?

[invite9dc7b526]

il faut chercher "connected components labeling". On trouve du code C et du code Matlab.

un exemple ici (mais ce n'est pas mon domaine, je ne sais pas si c'est le plus intéressant) : http://www-sop.inria.fr/members/Greg...t/connexe.html

[invite358b8da9]

Merci.
Une nouvelle question toujours en rapport avec le sujet.
Si je fais la moyenne de tout les segments passant par le centre de gravité de mon polygone (donc un nombre infini de segment), est ce que j'aurais une valeur proche de la distance moyenne entre deux côtés (telle que je la mesure avec ma méthode)?

[invite9dc7b526]

Si par "distance entre deux côtés" tu entends la distance entre deux droites parallèles tangentes au polygone, je pense que tu vas sous-estimer cette distance. Attention aussi au fait que ces concepts fonctionnent bien pour des polygones convexes, mais pas forcément pour des polygones généraux. Et si tu travailles sur une image constituée de pixels, tu peux obtenir des choses non convexes même si les polygones sur le terrain sont convexes.

Par contre, dans le cas de pixels tout est fini, ce qui simplifie les choses. Par exemple le diamètre d'un polygone dont la frontière est définie par une suite de pixels est le maximum de la distance entre paires de pixels, qu'il suffit d'énumérer (ce n'est pas forcément le meilleur algorithme mais au moin c'est simple).