Calcul de limite

[invite46542001]

Salut,

Dans un exercice, où je calcule un produit, je n'arrive vraiment pas à justifier la limite du fait d'une forme indéterminée.
D'abord j'ai prouvé que pour tout a, 2ch(a)sh(a) = sh(2a).
Ensuite avec un télescopage, je peux calculer :
Pn = produit ( nombre pi ) ch(x/2^k) pour k allant de 1 à n et x différent de 0.
Je trouve alors Pn = (1/2^n) * (sh(x)/sh(x/2^n).
C'est à cet endroit que je n'arrive pas à justifier la limite de Pn lorsque n tend vers + l'infini. C'est au niveau du dénominateur, c'est à dire 2^n * sh(x/2^n), que je n'arrive pas à transformer la forme indéterminée lorsque n tend vers + l'infini. Vous pouvez m'aider ?

Merci d'avance.
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[breukin]

Quel est l'équivalent de au voisinage de 0 ?

[invite46542001]

Si vous voulez parler de u = x/2^n. Lorsque n tend vers + l'infini sh(u) tend vers 0. Mais en quoi ça m'avance ?

[Médiat]

Bonjour,

breukin parlait de l'équivalent, pas de la limite

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite46542001]

Je ne connais pas cette notion :/

[invite5805c432]

tu sais dériver sh(X) en x=0?
et c'est quoi la définition d'une dérivée?

[invite46542001]

Sh'(0) = ch(0) = 1. donc la pente de Sh est de 1 au point d'abscisse 0.

[invite5805c432]

bravo. donc (sh(x)- sh(0))/(x-0)-> 1 quand x->0.
Donc sh(x)/x->1 quand x->0
donc sh(x)~x quand x->0, normal quand tu traces la droite y=x à coté de y=sh(x) elles sont tangentes en x=0.

donc si tu raisonnais comme un physiciens:
Pn = (1/2^n) * (sh(x)/sh(x/2^n) ~ 1/2^n *x/(x/2^n) ~ 1.

si tu veux absolument un raisonnement rigoureux, parce que... et bein

Pn = (1/2^n) * (sh(x)/x * x/ sh(x/2^n)= [sh(x)/x] * [x/s^n/ sh(x/2^n)]
chaque terme entre [] converge vers 1.

[invite46542001]

Merci beaucoup ! C'est très clair comme ça. Du coup ma limite est sh(x) / x puisque c'est uniquement n qui tend vers + l'infini, x étant une constante.

[invite5805c432]

oui, bien vu. J'avais pas vu mon l'erreur.