Transformée de Fourier de 2 façons

[invite5c5d70e2]

Bonsoir à tous !

Voilà, je vous explique mon problème, je dois calculer la transformée de Fourier d'un signal s(t) défini de la façon suivant :
s(t) = t si 0 <= t <= T
s(t) = 0 sinon

et je dois le faire en utilisant directement la formule de la transformée de Fourier, soit S(f) =
et en utilisant la formule de la dérivation qui donne : TF[s'(t)]=2i.pi.f.t.S(f)

Je vous ai mis en pièces jointes mes calculs et comme vous pourrez le constater, il y a un terme en trop.. Personne de ma classe n'a réussi.

Merci de votre aide !

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[invited5b2473a]

Ipp..........

[invite5c5d70e2]

Euh... excusez-moi mais pourriez-vous développer ?

Car je ne vois pas de problème dans mon IPP... et sachant que c'est censé être l'opération la plus "complexe", je l'ai vérifiée plusieurs fois.. j'ai soumis mes calculs à des amis sortant de prépa maths, et cependant ils trouvent comme moi..
Merci.

[invite5805c432]

ta seconde méthode est fausse.
La formule est vraie si s est dérivable donc forcément continu. Sauf que ici, le s ne l'est pas: il y a un saut.
Dans ce cas c'est à prendre dans le sens dérivée distribution. Il doit avoir un endroit du cours ou tu appliques cette formule à la fonction de Heavyside par exemple.
Donc le terme s', contient un terme , ou delta est un dirac en T, et -T vient du fait que le saut fait passer s de T à 0, donc il est négatif et vaut -T.
la transformée de Fourier de ce terme, divisée par 1/2ipi f te donne le terme manquant.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5805c432]

appliquer la méthode 2 à une fonction de Heaviside ou encore à la fonction signe, ne devrait pas te donner "0".

[invite5c5d70e2]

DOnc tu suggères de faire ceci :



Or si j'intègre le second terme (c'est à dire celui ci) :

me donne :

et si on divise ceci par 2i*pi*f cela donne :

et non :

[invite5c5d70e2]

Oups coquille : "et si on divise ceci par 2i*pi*f cela donne : T(- ...)

[invite5805c432]

Je n'ai pas suggéré une telle chose du tout. et parler de TF(Heaviside) était faux de ma part.

1- Tu as un signal, qui est discontinu, mais qui est quand même de type énergie finie (L2). Tu peux calculer sa transformée de fourier directement.

Tu veux le calculer maintenant d'une manière alternative, en passant par la dérivée s', de ce signal, et en utilisant la relation TF(s), et TF(s').
donc tu veux calculer s', puis calculer TF(s').

2- Toi tu me sors totalement autre chose.
en fait tu as pris ton signal s(t), et tu as écrit s(t)=s1(t) + s2(t)
ou s1(t)= t sur [0, T] , 0 sur t<0, et T sur t> T [s1(t) est continu]
suivi de
s2(t)= 0 sur t< T, et -T sur t> T

tu dois rester cohérent, du voulais dériver ces signaux pour calculer leur TF.
tu voulais donc dériver s1', et dériver s2'.
et enfin dire que TF(s')= TF(s1') + TF(s2').
mais tu ne vas pas pouvoir calculer des TF(s1) ou TF(s2) directement avec des pirouettes IPP, pour une raison très simple:aucune de ces fonctions n'est dans L2, ou même converge vers zéro à l'infini. D’ailleurs ton second terme \int exp(\alpha u) du, n a pas de sens pour une inegralle allant à l'infini!

3 - dans le cours, tu as considéré un signal du type "porte", donc s(t)=1 sur [a, b], et 0 ailleurs. [c'est bien plus facile que Heaviside ]
normalement, quand tu calcules la TF de ce signal de manière directe [methode 1], tu trouves un
- exp(-2i pi f b)/2ipi f + exp(-2i pi f a)/2ipi f
si a=-b, tu retrouves ton "sinc"

si je veux garder valable formellement la relation TF(s) et TF(s') [afin que la méthode 2 donne un résultat cohérent], avec s du type "porte". ca signifie que TF(s')(f)=- exp(-2i pi f b) + exp(-2i pi f a)

mais là j'ai un problème: la TF applique une fonction très régulière qui converge vers zéro à l'infini en une fonction du même type.
ou encore, la TF applique une fonction L2 en une fonction L2,
or ici - exp(-2i pi f b) + exp(-2i pi f a) n'est pas L2, et ne converge pas vers l'infini.

Pour cela, en général, les physiciens/ingénieur, ne se cassent pour autant la tête à faire des distributions.
ils définissent \delta_a, comme une "fonction", tel que \int_R \delta_a(u) f(u)du= f(a), pour toute fonction f.

du coup la TF(\delta_a)(f)= \int_R \delta_a(u) exp(-2i pi f u) du = exp(-2i pi f a)
on voit que la formule qui lie TF(signal porte) , TF(derivée d'un signal porte) est toujours valable, si je considère que s' vaut:
s'(u) = \delta_a(u) - \delta_b(u)

4- On extrapole le 3/, et on considère que
si s, est un signal continu, dérivable par morceaux sur des intervalles [a_i, a_{i+1}], sa dérivée s' est définie par le signal qui vaut s' sur chaque intervalle [a_i, a_{i+1}].

Néanmoins, si s est dérivable par morceaux sur des intervalles [a_i, a_{i+1}] mais en plus présente des sauts en a_i. la dérivée s' c'est une fonction qui vaut les dérivées sur chaque intervalle + la somme des s_i \delta_{a_i}(u), ou s_i est la valeur du saut en a_i

donc que vaut la dérivée du signal de ton exercice: elle vaut 1_[0 , T](u) + (-T)\delat_T(u).
[indicateur de [0, T] + un delta en T]

maintenant tu peux calculer TF(s'), et la formule TF(s')/ 2iPi f te donne le meme résultat que la méthode 1.

5- attention. la fonction f dans 4, doit etre L2, ou quelque chose assez régulier, convergeant vers 0 à l'infini.
Quand j'ai parlé d'une fonction Heaviside, je pensais à la dérivation.
La transformée de Fourier d'une fonction de heaviside est en fait plus compliquée [contrairement à ce que je suggérais]. Non seulement ta méthode 1 directe n'a pas de sens.
Mais ta méthode 2, te donnerais TF(\delta_0) / 2Pi i f = 1/if. Ça donne une TF qui vaut infini en 0. :/

Bref: tu as lu ton cours en diagonale.

[invite5805c432]

en y repensant pour le 4/

Si ton signal est discontinu e n a_i et dérivable sur les [a_i, a_{i+1}]
en écrivant la , et que tu appliques les IPP sur chaque intervalle, tu dois trouver:



s(a_i^+) est la limite à droite de a_i, et s(a_i^-) la limite à gauche

donc en réarrangeant on a



donc si je veux TF(s)= 1/2i pi f TF(s'),
s'(u) doit etre définit par

accessoirement, tu remarqueras que l'on a déjà utilisé l'IPP. Donc l'IPP utilisée dans la méthode 1, ne va pas apparaitre dans la méthode 2, elle est implicite.