Spectre
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Spectre



  1. #1
    invitedb34050e

    Spectre


    ------

    Bonsoir,
    Pourquoi svp si l'intersection de spectres de deux matrices A et B de Mn(C) est différente du vide alors les polynômes caractéristiques de A et B n'ont pas de racines dans C ???
    Merci

    -----

  2. #2
    invite37083ed2

    Re : Spectre

    Désolé mais je n'ai pas compris.
    Si je prends A la matrice nulle et B la matrice identité, l'intersection des spectres est vide.
    Et des polynômes sans racine dans C c'est compliqué quand ils sont à coefficients dans C, avec le théorème fondamental de l'algèbre... ^^

  3. #3
    invitedb34050e

    Re : Spectre

    Citation Envoyé par Victor.S Voir le message
    Si je prends A la matrice nulle et B la matrice identité, l'intersection des spectres est vide.
    Merci mais j'ai dit que l'intersection est non vide ^^

  4. #4
    invite37083ed2

    Re : Spectre

    A = B, l'intersection est non vide, le polynôme est dans C[X] puisque A et B sont dans Mn(C), donc par le théorème fondamental de l'algèbre il admet une racine dans C.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invitedb34050e

    Re : Spectre

    oui c'est vrai . Je suis désolée j'ai oublié de préciser qu'il n'ont pas de racine commune dans C

  7. #6
    invite37083ed2

    Re : Spectre

    Reviens à la définition du spectre. ^^ C'est l'ensemble des valeurs propres. Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique.
    Pourquoi ? Parce que si x est valeur propre alors il existe un vecteur propre associé, donc un vecteur dans le sous espace propre, donc dans Ker(A-xI)
    Mais donc A-xI n'est pas inversible, puisqu'on peut l'annuler, donc det(A-xI)=0. Or det(A-XI) est le polynôme caractéristique de A, par définition (ou det(XI-A) selon les définitions mais ça revient au même point de vue racine). Tu peux faire le sens inverse : si det(A-xI)=0 alors le Ker n'est pas vide donc il y a un vecteur propre donc c'est une valeur propre.

  8. #7
    invitedb34050e

    Re : Spectre

    Oui j'ai bien compris ^_^
    Vraiment merci beaucoup

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