A divise P ou A et P premiers entre eux

[invitef9171deb]

Bonjour

dans un exercice sur les polynomes je me bloque dans une partie dans l'exercice suivant :
Si A est un polynome irréductible et P appartient à K[X], Montrer que:
A/P ou A et P sont premiers entre eux:

Voilà comment j'ai commencé : j'ai effectué la division euclidienne de par A
Donc P = AQ + R , et deg(R) < deg (A)

A est irréductible donc soit de deg = 1 ou de deg = 2
Si deg A = 1 , alors R=0 ou bien R= c = cte

donc on a bien A/P ou A et P premiers entre en se servant du TH de (BEZOUT)

le problème que je trouve c'est :
Si deg (A) = 2 ; je me bloque sur le cas ou deg (R) = 1

donc R = aX+b ; ....
et c'est ici que je me bloque

Merci d'avance pour votre aide
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[invite7d411dcd]

Moi, j'ai envie de montrer que "A et P ne sont pas premiers entre eux" implique que "A divise P", ce qui est équivalent à "A divise P ou A et P sont premiers entre eux".

[invitef9171deb]

Merci Lanceliogs pour votre indication, en fait j'ai essayer avec cette méthode mais en vain, je vois pas comment avancé dans la démo

[invite7d411dcd]

Bon, si A et P ne sont pas premiers entre eux, il existe un polynôme Q non constant qui divise A et qui divise P. Comme A est irréductible, Q = A. Donc A divise P... Je ne vois pas ce qui cloche dans cette démo éclair.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef9171deb]

Ouups lemme de GAUSS ,

C'est trés clair maintenant , Merci infiniment Lanceliogs.

[invite7d411dcd]

Ça s'appelle donc le lemme de Gauss, merci pour l'info !

[invitef9171deb]

Bon, je me trompe c'est pas Gauss, c'est different (désolé)

[invite7d411dcd]

On dirait un corollaire du lemme d'Euclide, mais ce sont mes vieux souvenirs qui parlent là.