Soit a un polynome irreductible . Si a ne divise pas p alors a et p sont premiers entre eux .

[invite9565b610]

svp je veux un aide de vous pour resoudre cet exercice . j'ai procédé par la methode suivante mais j'ai rien obtenu :
j'ai supposé que A EST UN POLYNOME IRREDUCTIBLE ET J'ai supposé que A ET P SONT PREMIERS ENTRE EUX . MAINTENANT IL FAUT MONTRER QUE A NE DIVISE AS P . PAR ABSURDE ON VA SUPPOSER QUE A DIVIDE P ALORS IL EXISTE UN POLYNOME Q APPARTNT A k[x] tq : P=AQ . ON A A ET P SONT PREMIERS ENTRE EUX DONC D'APRES LA LEMME DE BEOUT IL EXISTE DEUX POLYNOMES U ET V APARTENANT A K[X] TQ UA+PV=1 . ALORS QUA+QPV=Q c-à-d PU+QPV=Q ==>P(U+QV)=Q ET JE ME SUIS BLOQUé ICI ! ......
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[gg0]

Bonjour.

Pourquoi écrire en majuscules ?

Sinon, je ne comprends pas ce que tu fabriques ici : "TQ UA+PV=1 . ALORS QUA+QPV=Q c-à-d PU+QPV=Q " ????
A partir de UA+PV=1 et de l'hypothèse P=AQ, on aboutit immédiatement à une factorisation qui permet de conclure (je suppose que A est un polynôme de degré au moins 1, que c'est dans la définition de "irréductible").

Cordialement.

[invite9565b610]

salut gg0 .
tu as raison la prochaine fois je dois ecrire en minuscule ....
Sinon, pour QUA+QPV=Q ==> PU+QPV=Q j'ai juste remplacé la polynome QA par P car ona ( P=QA ) .
J pense qu'on peut pas supposer que A est de degré inferieur a 1 car on travaille ici dans K[X] et non pas C[x] . ( donc si K=R les polynomes irreductibles sont les polynomes de degré inferieur ou égal à 2 )
J'ai factorisé comme vous avez dit et j'ai trouvé à la fin cette innégalité P(U+QV)=Q et je sais pas comment à partir de cette innégalité je peux obtenir une contradiction ( car j'ai supposé au premier par absurde que A divise p )

[invite268bab33]

[…] j'ai trouvé à la fin cette inégalité P(U+QV)=Q
et je sais pas comment à partir de cette inégalité
je peux obtenir une contradiction (car j'ai supposé
au premier par absurde que A divise P)

Et en se souvenant maintenant que P=AQ… ?

(P. S. : P(U+QV)=Q n'est pas une inégalité !)

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

C'est toujours inutilement compliqué :
Comme UA+PV=1 , on a (hypothèse choisie) UA+AQV=1 donc A(U+QV)=1
Et il suffit de conclure ... (ce sont des polynômes).