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Soit a un polynome irreductible . Si a ne divise pas p alors a et p sont premiers entre eux .



  1. #1
    hatimox

    Question Soit a un polynome irreductible . Si a ne divise pas p alors a et p sont premiers entre eux .


    ------

    svp je veux un aide de vous pour resoudre cet exercice . j'ai procédé par la methode suivante mais j'ai rien obtenu :
    j'ai supposé que A EST UN POLYNOME IRREDUCTIBLE ET J'ai supposé que A ET P SONT PREMIERS ENTRE EUX . MAINTENANT IL FAUT MONTRER QUE A NE DIVISE AS P . PAR ABSURDE ON VA SUPPOSER QUE A DIVIDE P ALORS IL EXISTE UN POLYNOME Q APPARTNT A k[x] tq : P=AQ . ON A A ET P SONT PREMIERS ENTRE EUX DONC D'APRES LA LEMME DE BEOUT IL EXISTE DEUX POLYNOMES U ET V APARTENANT A K[X] TQ UA+PV=1 . ALORS QUA+QPV=Q c-à-d PU+QPV=Q ==>P(U+QV)=Q ET JE ME SUIS BLOQUé ICI ! ......

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Soit a un polynome irreductible . Si a ne divise pas p alors a et p sont premiers entre eux .

    Bonjour.

    Pourquoi écrire en majuscules ?

    Sinon, je ne comprends pas ce que tu fabriques ici : "TQ UA+PV=1 . ALORS QUA+QPV=Q c-à-d PU+QPV=Q " ????
    A partir de UA+PV=1 et de l'hypothèse P=AQ, on aboutit immédiatement à une factorisation qui permet de conclure (je suppose que A est un polynôme de degré au moins 1, que c'est dans la définition de "irréductible").

    Cordialement.

  4. #3
    hatimox

    Re : Soit a un polynome irreductible . Si a ne divise pas p alors a et p sont premiers entre eux .

    salut gg0 .
    tu as raison la prochaine fois je dois ecrire en minuscule ....
    Sinon, pour QUA+QPV=Q ==> PU+QPV=Q j'ai juste remplacé la polynome QA par P car ona ( P=QA ) .
    J pense qu'on peut pas supposer que A est de degré inferieur a 1 car on travaille ici dans K[X] et non pas C[x] . ( donc si K=R les polynomes irreductibles sont les polynomes de degré inferieur ou égal à 2 )
    J'ai factorisé comme vous avez dit et j'ai trouvé à la fin cette innégalité P(U+QV)=Q et je sais pas comment à partir de cette innégalité je peux obtenir une contradiction ( car j'ai supposé au premier par absurde que A divise p )

  5. #4
    DAREMO

    Re : Soit a un polynome irreductible . Si a ne divise pas p alors a et p sont premiers entre eux .

    Citation Envoyé par hatimox Voir le message
    […] j'ai trouvé à la fin cette inégalité P(U+QV)=Q
    et je sais pas comment à partir de cette inégalité
    je peux obtenir une contradiction (car j'ai supposé
    au premier par absurde que A divise P)
    Et en se souvenant maintenant que P=AQ… ?

    (P. S. : P(U+QV)=Q n'est pas une inégalité !)

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Soit a un polynome irreductible . Si a ne divise pas p alors a et p sont premiers entre eux .

    C'est toujours inutilement compliqué :
    Comme UA+PV=1 , on a (hypothèse choisie) UA+AQV=1 donc A(U+QV)=1
    Et il suffit de conclure ... (ce sont des polynômes).

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