Entiers premiers entre eux.

[Jusd0range]

Bonjour, je ne vois pas du tout comment faire mon exo de spé maths:
1/ Montrer que si les entiers a et b² sont premiers entre eux, alors a et b sont premiers entre eux.
2/ Étudier la réciproque.
3/ Montrer que si les entiers a et b sont premiers entre eux alors a et a+b² sont premiers entre eux.
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[scroux]

Bonjour,
pour la question 1/ on peut démontrer facilement la contraposée (équivalente) :

"1/ Montrer que si les entiers a et b ne sont pas premiers entre eux, alors a et b² ne sont pas premiers entre eux."

[inviteb05fa7c2]

Pour la question 1 :
a et b se décompose en produit de nombre premier.
a et b² étant premier entre eux aucun des nombres premier permettant leur décomposition en nombre premier ne sont identiques.
Or b et b² se décomposent avec les mêmes nombres premier (avec un exposant carré près).
Donc aucun des nombres premiers de la décomposition de b n'apparait dans cellle de a.
conclusion : a premier avec b
Ps : Je sais pas si c'est très clair décrit comme ça.

Pour la question 2
Avec un raisonnement avec des décompositions en nombre premier tu peux également le démontrer

Pour la 3
Je crois que t'as un théorème qui te permet d'y repondre très vite en t'aidant des réponses aux questions précédant