"Fausse" démo de Cayley-Hamilton

[Vador1397]

Bonjour, =) =) =)


J'ai une question sur la "fausse" démo du théorème de Cayley-Hamilton, celle qui consiste à dire "c'est évident car det(A-lambda*In) appliqué en A donne det(A-A*In)=det(0n)=0"

j'ai compris qu'une des façons d'expliquer qu'elle est fausse est que, det(A-lambda*In) étant un polynôme en lambda, quand on l'applique en A cela doit donner la MATRICE nulle 0n, alors qu'avec ma démo ça donne le SCALAIRE nul, ce qui montre bien qu'il y a un pb....

du coup je me demandais : pour qu'un déterminant donne une matrice, ça doit être qu'on l'a appliqué à autre chose qu'une matrice. Donc je me disais que peut-être que quand on applique le polynôme P(lambda)=det(A-lambda*In) à une matrice, on doit remplacer A et In par autre chose que des matrices (peut-être des tenseurs d'ordre 3 ?) ?


et si c'est le cas, je me demandais si on pouvait généraliser ça à tout polynôme, c'est-à-dire que quand on a un polynôme à coefficients matriciels, si on l'applique à une matrice il faut remplacer ses coefficients matriciels par des trucs d'ordre supérieur (tout comme quand on applique P(X)=1 par exemple à une matrice il faut remplacer 1 par In)


Voilà, merci beaucoup pour vos réponses ! =)
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[Seirios]

Bonjour,

j'ai compris qu'une des façons d'expliquer qu'elle est fausse est que, det(A-lambda*In) étant un polynôme en lambda, quand on l'applique en A cela doit donner la MATRICE nulle 0n, alors qu'avec ma démo ça donne le SCALAIRE nul, ce qui montre bien qu'il y a un pb....

Un déterminant est toujours un scalaire. Le problème ici, c'est que, d'un côté on voit comme un polynôme en , mais de l'autre n'est pas une expression polynôme, il faut encore la développer. Maintenant, si on remplace par , on ne peut plus développer l'expression pour obtenir quelque chose de polynomial en .

Pour te faire une idée de ce qui se passe, tu peux regarder des exemples de matrices 2x2.

[Vador1397]

Seirios => merci pour ta réponse, et surtout toutes mes excuses de ne répondre que maintenant, ce n'est vraiment pas correct de ma part


ceci étant dit, j'aimerais avoir encore quelques précisions sur la question, ça m'intéresserait vraiment de savoir en détail pourquoi dans le cas particulier d'un polynôme exprimé sous la forme d'un déterminant on ne peut pas juste remplacer l'indéterminée X par une matrice, ou alors quelles précautions il faudrait prendre pour pouvoir le faire (comme je le supposais dans mon premier message, peut-être remplacer les autres matrices par des tenseurs d'ordre supérieur... ?)


d'ailleurs, une autre question très liée : est-il également faux de dire que, pour deux matrices A et M, ?
J'ai tout de suite envie de dire que c'est faux parce qu'on obtient un scalaire, alors que est une matrice, mais je me demande vraiment quelles règles précises nous interdisent de faire ça ?

en fait ce qui est très particulier avec le polynôme caractéristique j'ai l'impression c'est qu'il ne peut être défini sous la forme que si X est un scalaire,
sauf que pour moi quand on définit en règle générale ce qu'est un polynôme de l'indéterminée X, il n'est nulle part question que sa forme puisse dépendre de la nature de X.....


Bref merci d'avances pour vos nouveaux éclaircissements à ce sujet, je voudrais vraiment pouvoir comprendre entièrement tout ça

[Vador1397]

un peu d'aide svp ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Vador1397]

svp j'aimerais vraiment avoir un peu d'aide

[minushabens]

ceci étant dit, j'aimerais avoir encore quelques précisions sur la question, ça m'intéresserait vraiment de savoir en détail pourquoi dans le cas particulier d'un polynôme exprimé sous la forme d'un déterminant on ne peut pas juste remplacer l'indéterminée X par une matrice, ou alors quelles précautions il faudrait prendre pour pouvoir le faire (comme je le supposais dans mon premier message, peut-être remplacer les autres matrices par des tenseurs d'ordre supérieur... ?)

prends un exemple très simple : Det(XI) où X est l'indéterminée et I est la matrice identité nxn. Ce polynôme est donc X^n. Si maintenant tu remplaces X par A. Dans la première expression tu obtiens Det(AI)=Det(A) (un élément du corps de base). Dans l'expression développée tu obtiens A^n (une matrice nxn). Tu vois bien que ce n'est pas la même chose.

[Vador1397]

merci pour ta réponse minushabens, en effet avec cet exemple c'est encore plus clair qu'on ne peut pas remplacer X par A dans l'expression avec le déterminant,
ça veut bien dire que la définition du polynôme caractéristique n'est valable que pour X scalaire, mais n'est-ce pas étonnant d'avoir une définition d'un polynôme qui ne marche que pour X ayant un certain type, alors que le principe de l'indéterminée X est bien de pouvoir la remplacer par à peu près n'importe quoi ?

ou alors est-ce que ça veut dire, comme je le supposais, que pour utiliser cette définition du polynôme faisant intervenir le déterminant, il faut remplacer A et In dans par des tenseurs d'ordre supérieur ?

et sinon vous êtes bien d'accord du coup qu'il est faux de dire que ?

[gg0]

Vador1397 :

alors que le principe de l'indéterminée X est bien de pouvoir la remplacer par à peu près n'importe quoi ?

Absolument pas. Soit P(X)=2X-1 et M un point du plan. Manifestement ça n'a pas de sens de remplacer X par M.

Par contre, si A est une matrice, et f est un endomorphisme, on sait donner un sens à P(A) et P(f). Mais dans Cayley-Hamilton, il n'y a pas vraiment un polynôme, il y a une expression algébrique qui donne un polynôme quand est un réel. Considérer que le déterminant est un polynôme c'est déjà avoir fait le développement du déterminant, ce qui n'a de sens que quand est un réel..

Cordialement.

[Vador1397]

ok merci j'ai compris l'essentiel comme ça, par contre je devine que personne n'a d'idée sur mon histoire de remplacer A et In dans l'expression pour qu'on puisse bien remplacer X par une matrice et retomber sur une matrice à la fin...

êtes-vous d'accords en tout cas que l'idée serait bien de remplacer In et A par autre chose comme par exemple un tenseur d'ordre supérieur et également d'utiliser une définition du déterminant plus générale qui ferait qu'en sortie on aurait bien un polynôme de matrices et plus un scalaire ?


également êtes-vous bien d'accords (désolé d'insister ^^) qu'il est faux de dire ?


Merci beaucoup pour votre aide

[gg0]

Désolé !

Je lis ton idée, mais je ne la comprends pas. Si on remplace les matrices par autre chose, det ne veut plus rien dire.
Pour , je ne sais pas de quoi tu parles. Je ne connais pas ta notation .

Je réponds généralement peu en algèbre, je ne domine pas assez cette discipline.

Cordialement.

[Vador1397]

en fait je me disais la chose suivante :

quand on écrit P = X + 1, si on l'applique à un scalaire il n'y a pas de problème, on écrira par exemple P(3)=3+1=4
par contre, si on l'applique à une matrice, on ne peut pas juste écrire P(A)=A+1 parce que ça n'aurait aucun sens, il faut remplacer 1 par In, et alors P(A)=A+In

je me disais que peut être que de la même manière, si on veut remplacer X par M dans le polynôme caractéristique de A (par je désigne le polynôme caractéristique de A, c'est-à-dire , j'aurais dû préciser mes notations mille excuses ), il faut peut être remplacer A et In par des tenseurs d'ordre supérieur pour que le déterminant de cette quantité nous donne bien une matrice et non un scalaire. Il faudrait utiliser une définition généralisée du déterminant, qui donnerait alors une matrice et non un scalaire... Enfin je sais pas si cette définition existe et je fabule probablement complètement....

Je me posais cette question parce que j'ai du mal à me résoudre à l'idée que l'expression ne puisse être valable que pour X scalaire..... donc je me dis que :
- soit il existe un moyen de généraliser la notion de déterminant pour qu'elle fonctionne toujours quand on remplace X par une matrice,
- soit c'est un abus de notation de mon cours, et dans ce cas il faudrait pour être rigoureux définir le polynôme caractéristique comme le polynôme , où les sont donnés en écrivant sous forme polynomiale l'expression , avec scalaire

Voilà voilà, merci beaucoup pour votre temps en tout cas

[gg0]

Ok pour .

Pour ton paragraphe "je me disais que peut être ..." si tu n'as pas de piste pour le faire, ça ne sert à rien. Il n'est pas utile de rêver à ce qui se passerait si ... on arrivait à faire ce qu'on ne sait pas faire. Et si tu ne te résignes pas à ce qu'un déterminant s'applique seulement à une matrice, tu es bien bizarre : C'est fait pour ça. Même si ça t'embête car tu aimerais bien que cette démonstration fausse soit vraie. Tu n'as pas finie d'avoir des choses qui t'arrangeraient bien si ...
mais si tu deviens chercheur en mathématiques, un thème de recherche peut être de trouver une généralisation. En ayant parfaitement compris comment ça fonctionne.

Autre chose : "quand on écrit P = X + 1, ..." c'est en fait P(X)=1X¹+1X⁰. Et la définition des puissances de matrices permet d'écrire A⁰=I. Donc on ne fait qu'appliquer les règles de calcul.

Cordialement.

[Vador1397]

ok merci beaucoup, et aussi pour le P=X+1 ça m'a fait prendre conscience comprendre de qch

[minushabens]

Le déterminant te donnera toujours un scalaire. Une façon peut-être plus naturelle de voir le déterminant c'est comme une forme n-linéaire alternée de (K^n)^n dans K, c'est-à-dire une application qui à n vecteurs de K^n associe un scalaire (et qui est multilinéaire et alternée). Le lien avec les matrices est que le déterminant d'une matrice carrée est le déterminant de ses vecteurs colonnes (ou lignes d'ailleurs). On doit pouvoir généraliser cela en considérant une application (non plus une forme) n-linéaire dont l'image serait un espace de matrices. C'est peut-être bien déjà connu.

[Vador1397]

oui ok

je pense que je vais retenir l'idée que définir le polynôme caractéristique comme est un abus de notation