Convergence en moyenne quadratique.

[invitea87c944f]

Bonjour tout le monde,

J'ai besoin d'une idée si possible, J'ai une suite de variables aléatoires (Xn)_{n>=0} qui converge vers une variable aléatoire X en moyenne quadratique.
Je veux déterminer la variance de cette variable aléatoire X sachant que pour montrer que Xn->X dans L2 il suffit de montrer que lim_{n->+00}E(Xn)=E(X)
et lim_{n->+00}Var(Xn-X)=0.
J'ai déjà calculer lim_{n->+00}E(Xn) et lim_{n->+00}Var(Xn).
Je veux déterminer les caractéristiques de X surtout la variance (espérance est évidente lim_{n->+00}E(Xn)=E(X))



Merci d'avance
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[invite5805c432]

1- pourquoi c'est si evident que E(X_n)-> E(x)?

2- Var(Y)= E((Y-E(Y))^2) = E(Y^2)- [E(Y)]^2.
la convergence en moyenne quadratique te donne que E[(X_n- X)^2] ->0.
donc Var(X_n)= E(X_n^2)- [E(X_n)]^2-> E(X^2)- [E(X)]^2 = Var(X)
conclusion Var(X_n)-> Var(X)

[invitea87c944f]

Merci pour votre réponse rapide,

J'ai dit qu'il est évident d'avoir E(X) parce que on a limE(Xn)=E(X)
mais j'avais aucune idée sur le fait que limV(Xn)=V(X) !!
Donc puisque j'ai déjà calculé limE(Xn) et limV(Xn) donc les caractéristiques de X sont bien déterminées.

Merci,

[invite5805c432]

oui je sais que tu penses que c'est trivial, mais "E(X_n)-> E(X)" vient de cauchy lipshitz, et du fait que la mesure de probabilité est bornée! c'est moins trivial que le reste

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea87c944f]

Bonsoir,

Ok merci pour l'information.
S'il vous plait est ce que j'ai le droit, puisque j'ai calculé lim_{n->+00}E(Xn)=E(X) et lim_{n->+00}Var(Xn)=V(X), de dire que la suite de v.a (Xn)_n>0 converge
en moyenne quadratique vers une variable aléatoire X de moyenne E(X) et de variance V(X).

Merci d'avance.

[invite9dc7b526]

ah certainement pas. Prends X qui suit la loi normale N(0,1), et construis la suite X(n) telle que X(2n)=X et X(2n+1)= -X Cette suite ne converge pas. Il faut une hypothèse de mélange pour avoir le résultat.

[invitea87c944f]

Ok merci pour votre réponse, mais j'ai pas compris comment je peux construire cette "hypothèse de mélange" !!

Merci d'avance.

[invite9dc7b526]

J'ai écrit 'il faut" mais c'est plutôt "il suffit". Si le procesus Xi t'est donné sans plus de précision tu ne peux pas faire l'hypothèse qu'il est mélangeant.

[invitea87c944f]

Bonjour,

Je n'ai que la suite (X_n)_n et je dois trouver la va X de telle sorte que la suite (X_n)n converge dans L2 vers cette va X!!
J'ai aucune information sur la variable aléatoire X (inconnu).
Je sais pas comment je peux résoudre ce problème !!

Merci d'avance.

[invite9dc7b526]

Et la suite est définie comment?

[invite9dc7b526]

J'ai écrit une bêtise d'ailleurs. Même dans le cas indépendant, les conditions EXn->EX et VXn->VX n'entraînent pas la convergence de Xn vers X. C'est vrai en loi si les Xn et X sont gaussiennes par exemple, mais pas dans L2.

[invitea87c944f]

La suite est définie comme suite:

[invite9dc7b526]

Mouais, ce n'est pas simple. On ne sait pas si X est à accroissements indépendants... tu as trouvé une limite, ou pas?

[invitea87c944f]

Non X n'est pas à accroisements indépendants.
oui j'ai calculé lim_{n->+00}E(Xn) et lim_{n->+00}Var(Xn).