Exercice de probabilités

[Binomes]

Bonjour !

Voici un petit exercice de probabilités que j'ai fait mais dont je n'ai pas la correction:

Enoncé:
2 urnes A et B contiennent n boules numérotées de 1 à n
On tire une boule de A, dont le nombre est noté a et une boule de B, dont le numéro est notée b

Soit E l'événement: le rapport a/b est un nombre entier

1- Calculer P(E) dans le cas où n=3
2- Calculer P(E) " n=4
3- Calculer P(E) en général

Mes résultats:

1- Après avoir réalisé un arbre de probabilité, je remarque que parmi 9 événements, 5 correspondent à un nombre entier: 1/1, 2/1, 2/2, 3/1, 3/3

P(E)=5/9 si n=3

2- Parmi 24 (4!), on en trouve 8: 1/1, 2/1, 2/2, 3/1, 3/3,4/1, 4/2, 4/4

P(E)=8/24 si n=4

3- On remarque donc 3 cas où a/b correspond à un nombre entier:
-> Lorsque a=b
-> Lorsque b=1
-> Lorsque a=xb, avec x un entier positif

Je suppose que P(E)= quelque chose / n! mais j'ai du mal à déduire ce "quelque chose", sans la 3eme condition (a=xb), je trouve P(E)= (2n-1)/(n!) mais avec, je n'y arrive pas

Si quelqu'un peut m'aider, alors merci d'avance
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[Médiat]

Bonjour

3- On remarque donc 3 cas où a/b correspond à un nombre entier:
-> Lorsque a=b
-> Lorsque b=1
-> Lorsque a=xb, avec x un entier positif

Cela ne fait donc qu'un seul cas !

[Binomes]

Effectivement >.<

Mais je ne vois toujours pas comment traduire cette donnée pour trouver la formule de P(E).

[Médiat]

J'ai peur qu'il n'y ait pas de réponse simple, voire de réponse connue

Cela fait intervenir le nombre de diviseurs d'un entier quelconque, dont on connait un encadrement, mais pas (à ma connaissance) de formule fermée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Binomes]

Merci Médiat !
Je ne voyais pas comment déduire P(E) surtout a partir des résultats précédents.

Bonne journée !