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On étudie dans ce problème un cas concret afin de minimiser le coût du dépistage d'une maladie. Le but de cet exercice est de comparer l'efficacité par rapport au coût, de deux méthodes de dépistages de maladie concernant statistiquement 1% de la population sur un ensemble de 1000 personnes. On admet que les tests sont fiables à 100%.
On considère que les résultats des tests individuels constituent des évènements indépendants.
Dans la méthode A, on effectue 1000 analyses individuelles.
Dans la méthode B, on répartit les 1000 personnes en n groupes de r personnes ; on a donc nr = 1000.
Dans chaque groupe, on mélange les r prélèvements pour en faire une seule analyse, ce qui conduit à une première série de n analyses.
-Un groupe est négatif lorsqu'aucun des individus qui le composent est malade.
-Sinon, le groupe est positif et l'on procède alors à une nouvelle analyse de sang de chacune des r personnes de ce groupe.
1-Etude de la méthode B
a) Quelle est la probabilité p pour qu'un groupe donné soit négatif ?
En déduire la probabilité q pour que ce groupe soit positif.
b) Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de groupes positifs. Montrer que Y suit une loi binomiale de paramètres n et q.
En déduire E(Y).
c) Si Y désigne le nombre de groupes positifs, calculer le nombre d'analyses faites au total avec la méthode B. X désignant la variable aléatoire égale au nombre d'analyses effectuées avec la méthode B, calculer l'espérance mathématiques de X.
2-Comparaison des méthodes A et B
a) En remplaçant 0,99^r = (1 - 1/100)^r par sa valeur approchée 1 - 100/r, montrer que E(X) = 10(r + 100/r).
b) Soit le fonction f définie sur ]0 ;1000] par f(x) = 10(x + 100/x).
Dresser le tableau de variations de f.
Résoudre l'équation f(x) = 1000 et l'inéquation f(x) < 1000.
c) En déduire les valeurs de r pour lesquelles la méthode B est en moyenne moins coûteuse que la méthode A ainsi que la valeur de r minimisant le coût de la méthode B.
Je voudrais un peu d'aide pour commencer.
Merci d'avance pour les réponses que vous m'apporterez.
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