Erreur d'arrondi machine

[bendesarts]

Dans les méthodes de résolution numériques d'équations différentielles, dans le document que je lis, ils disent que les méthodes approchées engendrent deux types d'erreurs :
- des erreurs dites de troncadures, celles liées à l'approximation des dérivées des variables
- auxquelles s'ajoutent des erreurs d'arrondi machine.

Est-ce que vous pourriez me dire quelques mots pour me décrire les erreurs d'arrondi machine ? Je pense qu'il s'agit de l'erreur liée au codage d'un nombre sur un nombre fini de bits. J'ai du mal à imaginer que ce type d'erreur pu engendrer de gros écart.
Est-ce que ce type d'erreur peut avoir un gros impact en termes d'erreurs ?

Merci pour vos conseils.
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[polf]

Les résolutions numériques des équa diffs induisent en effet des erreurs. Si celles-ci pouvaient être dans certains cas visibles dans les années 80, que j'ai connues... un peu de respect s'il te plait, les outils d'aujourd'hui permettent d'avoir des erreurs absolument invisibles sur un graphique, et même numériquement....
Bref, Matlab et consor sont tout à fait fiables !

[lucas.gautheron]

Bonsoir,

Quand on manipule des nombres à virgules de façon usuelle (http://fr.wikipedia.org/wiki/IEEE_754) les valeurs calculées ne sont pas tout à fait égales à la valeur exacte (du fait de la finitude des valeurs représentables).
Lors de la résolution d'équations différentielles, on procède de façon récursive et les erreurs s'amplifient...

Quand la précision est critique on utilise d'autres représentations des nombres : http://en.wikipedia.org/wiki/Arbitra...ion_arithmetic

A+

[gg0]

Bonjour Bendesart.

On constate les erreurs avec une simple calculette : donne 0 comme résultat, pas 1. Il y a des outils pour réduire les erreurs de ce genre (voir le numéro de "La recherche" d'octobre), et des façons de mener les calculs (conditionnement) pour réduire les risques.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

J'ai du mal à imaginer que ce type d'erreur pu engendrer de gros écart.
Est-ce que ce type d'erreur peut avoir un gros impact en termes d'erreurs ?

Bonjour,

C'est la découverte de ce type d'erreur (dans les années 60, par Lorenz) qui est à la base de la conception (moderne) de la théorie du chaos (le terme date des années 70).

C'est dû au fait que dans le cas de résolution d'une équation différentielle, les calculs sont itératifs, et donc les erreurs s'accumulent.

[bendesarts]

Merci pour vos réponses.
Je vais essayer de préciser ce que je cherche à mieux comprendre.
En mécanique multicorps, les équations différentielles obtenues sont des ODE (Ordinary Differential Equations) ou DAE (Differential Algebraic-Equations).
Lors de la résolution numérique de ces deux types d'équations, on peut rencontrer en autres les erreurs mentionnées.
Et j'aurais aimé en savoir plus sur l'impact que pourrait avoir ces erreurs d'arrondis machine.
Sinon, par rapport à la remarque de polf, je ne suis pas trop d'accord car dans le cas de la résolution des équations différentielles des systèmes multicorps, le pas d'intégration s'il n'est pas suffisamment petit peut engendrer de grosses erreurs de troncature. De plus, il y a toujours un compromis à avoir entre le temps de calcul et la précision. Donc si je ne veux pas un calcul qui me prenne 3/4H je suis obligé de me restreindre sur le pas d'intégration et ne pas le prendre trop petit.
Merci pour vos idées et commentaires.