(Probas) Démo que E(X)=0 implique X certaine égale à 0

[inviteed436f76]

Bonjour =) =)

J'ai le théorème suivant dans un livre :
Soit X une variable aléatoire sur un espace probabilisé fini (Omega, P). Si X est positive et si E(X)=0, alors X est une variable aléatoire certaine, égale à 0.

Il est démontré de la manière suivante :
E(X)=0=somme(x*P(X=x), x parcourant X(Omega))
Cette somme portant sur des réels positifs, chacun des réels est nul, d'où x*P(X=x) = 0 pour tout x dans X(Omega).
Mais par hypothèse pour tout x de X(Omega), P(X=x) non nul, donc x=0


Je ne comprends pas l'affirmation "pour tout x de X(Omega), P(X=x) non nul", je ne vois aucun moment où l'énoncé du théorème supposerait cela

Pourriez-vous m'éclairer svp ?


Merci beaucoup =) =)
Bonne journée
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[minushabens]

Qu'appelles-tu "variable certaine"?

Pour montrer que P(X>0)=0 tu peux utiliser l'inégalité de Markov par exemple.

[gg0]

Bonjour.

Très simplement, x*P(X=x)=0 donne soit x=0, soit P(X=x)=0 et alors X ne prend pas la valeur x (on est sur un univers fini). Donc la seule valeur que prend X est 0.
En fait, X(Oméga) est l'ensemble des x tels que P(X=x) est non nul. Pour un univers fini.

Cordialement.

Cordialement.

[inviteed436f76]

minushabens => c'est le terme qui était utilisé dans le livre mais je suppose que ça désigne une variable aléatoire qui ne prend qu'une seule valeur

gg0 => ok je ne savais pas que pour un univers fini les éléments de X(Omega) ont tous une probabilité non nulle, et d'ailleurs je te crois mais j'ai du mal à voir pourquoi... qu'est-ce qui empêche qu'un des événements soit impossible ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[minushabens]

ah je n'avais pas vu que l'espace probabilisé était fini. Dans ce cas X prend un nombre fini de valeurs. Si x est différent de 0 et si P(X=x)>0 alors EX=x*P(X=x) + termes positifs > 0 : contradiction.

[gg0]

Ok.

On va rentrer dans la technique. est un ensemble fini, et la tribu associée est , l'ensemble de ses parties. On munit d'une probabilité . X est une application de dans . Comme , on confond avec .
Intuitivement, les valeurs possibles de sont les images des éléments de l'univers, des événements élémentaires.

Si certains événements élémentaires ont une probabilité nulle, leur image x donne bien si l'événement a une probabilité nulle par P. Donc tu as raison, et je me trompais, peut très bien contenir des éléments x tels que .

Maintenant, il est facile de rectifier la démonstration :
...
E(X)=0=somme(x*P(X=x)), x parcourant
...

Cordialement.

NB : Tu m'as obligé à revoir de près la théorie

[inviteed436f76]

minushabens => d'accord mais je ne comprends pas... tu suppose qu'il existe un x non nul et que P(X=x)>0... mais dans ce cas il faut également envisager le cas où il existerait un x non nul avec P(X=x)=0, non ?

gg0 => merci beaucoup pour toutes ces explications, mais il me semble que dans ce cas on a toujours pas montré la propriété pour tout x de Omega, on l'a montré que pour ceux qui ont une probabilité non nulle... ?

au fait autre question qui n'a rien à voir, comment on fait pour insérer des formules mathématiques et des symboles grecs dans les messages ? ça fait un moment que je me pose la question...

[invite47ecce17]

Bah, tout simplement parce que la propriéte est fausse, on ne peut pas en déduire mieux que le fait X est nulle presque surement, meme sur un univers fini.

[minushabens]

il me semble que dans ce cas on a toujours pas montré la propriété pour tout x de Omega, on l'a montré que pour ceux qui ont une probabilité non nulle... ?

quelle propriété?

[gg0]

Bonsoir Vador.

Effectivement, si on considère que certains événements ont une probabilité nulle et une image par X non nulle, la preuve tombe. C'est ce que MiPaMa traduit par "presque sûrement" (la probabilité que ça n'arrive pas est nulle).
Ensuite, c'est une question de convention de considérer, pour un univers fini, les événements de probabilité nulle, ou pas. A petit niveau, on ne considère dans l'univers que les événements de probabilité non nulle (Pour un dé, on ne va pas considérer que Oméga={0,1,2,3,4,5,6} puisque le dé ne tombe jamais sur le 0). Mais à niveau plus élevé, ça peut être utile.

Cordialement.

NB : Dans mes explications, il y a toujours les cas où P(X=x)=0, que je négligeais puisque X ne prend "presque sûrement" pas ces valeurs; ce que j'appelais "X ne prend pas la valeur x. L'intervention de MiPaMa a clarifié cela.


Pour écrire des équations voir http://forums.futura-sciences.com/ma...res-forum.html

[inviteea028771]

Il me semble que "X est une variable aléatoire certaine, égale à 0" veux simplement dire P(X=0) = 1, pas que X(w) = 0 pour tout w dans Omega.

[inviteed436f76]

ok il semble donc que tout ça soit surtout une histoire de convention

merci beaucoup à tous pour vos interventions