Bonsoir =) =) =) =) =)
J'aimerais savoir qu'est-ce que l'on peut conclure quand on veut appliquer le critère de d'Alembert pour déterminer la convergence d'une série mais que |Un+1/Un| n'admet pas de limite.
Est-ce qu'on ne peut tout simplement rien conclure comme dans le cas où |Un+1/Un| tend vers 1 ?
Merci beaucoup =) =) =) =)= )
regarde u_n= sin(nPi/2)
v_n=1/n
et w_n=1/n^2
et z_n= sin(n)/n
Dernière modification par untruc ; 27/11/2014 à 19h42.
Bonjour vador1397.
Quand une propriété a la forme si A alors B (par exemple si médor est un chien alors médor est un animal) et que A n'est pas vrai, tu ne peux rien conclure (si médor n'est pas un chien ou s'il n'y a même pas de médor, que pourrais-tu conclure de la propriété ?).
Le critère de D'Alembert est de cette forme.
Cordialement.
untruc => ok merci bcp je vais regarder ça =)
gg0 => yes mais je me demandais si il existait une version "étendue" du théorème =)
untruc => ok j'ai vu que Un+1/Un et Zn+1/Zn n'admettent pas de limite et que somme(Un) diverge alors que somme(Zn) converge (transfo d'Abel...)
par contre je ne comprends pas pk tu m'as donné les exemples de Vn et Wn, vu que Vn+1/Vn et Wn+1/Wn admettent bien une limite... Oo
en tout cas j'ai ma réponse grâce à toi donc merci bcp =)
Comment pourrait-on le savoir, tu ne l'as pas dit. Et quelle serait l'allure d'une telle version (on n'est pas dans ton cerveau, on ne peut pas savoir).Envoyé par Vador1397
Cordialement.
parce que la limite est 1, et que la serie de l'une converge, alors que la serie de l'autre diverge. C etait ta question!
untruc => aaah d'accord je m'étais mal exprimé ma question ne portait que sur le cas "pas de limite", merci bcp en tout cas
gg0 => ba du coup quelque chose du genre si |Un+1/Un| n'admet pas de limite, on ne peut pas conclure
"du coup quelque chose du genre si |Un+1/Un| n'admet pas de limite, on ne peut pas conclure"
mais c'est exactement ce qui est dit dans le critère de D'Alembert. Puisqu'on ne conclut que s'il y a une limite et qu'elle est différente de 1.
Ce que tu appelles "étendre le critère", c'est parler de ce qui se passe quand il ne s'applique pas. Mais il peut se passer plein de choses, déjà certains termes peuvent être nuls, et on ne pourra pas parler de |Un+1/Un|; ensuite on pourrait ne même pas avoir de série, ou même être en train de jouer au foot, ou ...
En maths, les théorèmes ne disent que ce qu'ils disent, pourquoi perdre du temps à se poser des questions inutiles ? Ce n'est pas ainsi qu'on progresse, pas en disant "et quand le théorème ne s'applique pas ?". par contre, étudier les hypothèses pour voir pourquoi elles sont nécessaires, ça c'est utile.
Cordialement.
gg0 => sauf que pour moi le fait qu'on ne puisse pas conclure dans certains cas est un résultat en soi
dans la version du théorème de mon cours il est dit explicitement "si la limite de |Un+1/Un| tend vers 1 on ne peut pas conclure", et je ne vois pas pourquoi ne pas faire la même chose pour le cas où Un ne s'annule pas et où |Un+1/Un| n'admet pas de limite, perso je me couche toujours moins con en sachant ça
OK.
Pour moi, "on ne peut pas conclure" n'est pas une connaissance, seulement une absence de connaissance qui était déjà dans le critère initial. Qui ne comporte pas le "si la limite de |Un+1/Un| tend vers 1 on ne peut pas conclure" puisqu'il n'est pas nécessaire (c'est une évidence, une fois réécrit correctement : une limite ne tend vers rien). De plus, il existe des critères plus précis, par exemple avec des limites supérieures.
En logique, si on a démontré A==>B, de A, on peut conclure B. De "A n'est pas réalisé", on ne peut rien conclure. Par contre, ce qui est utile à savoir, c'est qu'il y a des séries (à termes tous non nuls) qui convergent et d'autres qui divergent pour lesquelles "|Un+1/Un| tend vers 1".
Et il y a des séries pour lesquelles on ne peut même pas essayer d'appliquer le critère, vu que aussi loin qu'on aille, il y a des termes nuls.
Donc on évite de considérer ce critère comme un théorème très important, on regarde rapidement, pour une série dont on étudie la convergence, si on peut l'appliquer, et si ce n'est pas le cas, on passe à autre chose.
Par exemple, la série de terme généralsi n est un carré, 0 sinon, est-elle convergente ?
Cordialement.
certes mais si je posais la question c'est parce que tous les théorèmes ne nous sont pas toujours donnés sous leur forme la plus globale
par exemple on nous donne en prépa le théorème de bolzano-weierstrass sous la forme "tout suite réelle bornée admet une sous-suite convergente"
alors qu'il est en fait plus général et s'applique à toute suite d'une espace vectoriel de dimension finie, et non pas seulement aux suites réelles
bref en tout cas maintenant je suis fixé
