Critère de d'Alembert

[invite55d0d75b]

Bonjour,j'ai quelques problemes avec les séries et surtout avec le Critere d'Alembert ou encore appelé test du quotient dans quelques livres.Je vous serai reconnaissant si quelqu'un pourrait m'aider.

D'abord a quoi ca sert exactement d'avoir an+1/an ?
Ca s'applique toujours,seulement aux series?
Quand est ce qu'on doit l'appliquer exactement?

Et apres la notion de rayon de convergence m'est completement inconnue.J'ai regardé chez google,livres mais ils expliquent d'une facon assez compliqué pour moi :P
Quelqu'un pourrait il m'elucider la-dessus?

Merci d'avance,
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[invite6f25a1fe]

Il faut voir le critère de d'Alembert comme un critère de comparaison aux séries géométriques.

En effet, si , alors on peut écrire que
On majore donc par une série géométrique qui converge, donc la série des Un converge aussi.

Rq : On voit dans la démonstration qu'il suffit que le critère soit valable à partir d'un certain rang (la convergence d'une série ne dépend pas de ces premiers termes de toute façon)

Si alors la série diverge grossièrement (la suite des an étant soit constante, soit croissante (termes positifs) la suites des an ne peut tendre vers 0, condition nécessaire à la convergence de la série.

[invite55d0d75b]

Merci beaucoup et pour le rayon de convergence s'il vous plait?

[invite34b13e1b]

regarde les "séries entieres" sur internet (wiki par exemple) pour comprendre la notion de rayon de convergence.

En pas clair, on dit que R est le rayon de cvrgce de si

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec317278e]

regarde les "séries entieres" sur internet (wiki par exemple) pour comprendre la notion de rayon de convergence.

En pas clair, on dit que R est le rayon de cvrgce de si

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[invite34b13e1b]

oups... le rayon de convergecne (que je note R) est évidement le Sup tel que pour tout x...
(j'me disais que ca n'allais pas être clair )

[invite55d0d75b]

Désolé,mais j'arrive pas a comprendre.
Comment fait on pour trouver le rayon de convergence?

[invite34b13e1b]

et bien par exemple tu peux dire que la série entière cvgre absolument ssi:
(règle de d'alembert)
et donc trouver une condition sur x.
ex:

de d'alembert il vient que la série cvrge absolument pour x<1, dc la série a un rayon de cvgrce de 1; ie: pour tout x dans ]-1;1[ la série cvgre absoluùment.

[invited84210a7]

Il faut voir le critère de d'Alembert comme un critère de comparaison aux séries géométriques.

J'en profite pour préciser que c'est bien "le critère de d'Alembert" et non "le critère d'Alembert" puisque ce monsieur s'appelait d'Alembert

[invite55d0d75b]

Merci,c'est beaucoup plus clair maintenant avec l'exemple.
Y a t'il une convention pour utiliser le critère d'Alembert?
Par exemple chaque fois qu'on a une série de tel ou tel genre il est applicable?

[invite34b13e1b]

chaque fois que la suite a_n s'y prête (lim a_n+1/a_n s'exprime simplement) on applique d'alembert.
Sinon, on peux tjrs utiliser les o O et équivalents