Paradoxe de d'Alembert

[invite4233b79a]

Bonjour à tous, voila je viens de commencer la dynamique des fluides et je ne m'y trouve pas vraiment à l'aise...alors si vous pouvez m'aider a mieux comprendre mes exercices cela m'arrangerait beaucoup:

Un cylindre long d'axe (Az)et de rayon a se déplace en mouvement rectiligne uniforme à la vitesse U ( suivant l'axe x ).Loin du cylindre le fluide est au repos dans le référentiel galiléen (R0)=(0xyz). Le champs de pesanteur g (suivant l'axe y) est uniforme. On étudie l'écoulement dans le référentiel barycentrique du cylindre et on y note v ( vecteur) le champ des vitesses.

L'écoulement est supposé parfait, stationnaire,irrotationnel,inc ompressible et homogène de masse volumique rho.

1)établir l'équation aux dérivées partielles dont est solution le potentiel des vitesses Q. Puis en déduire l'expression du champ des vitesses à la surface du cylindre

2)Déterminer la pression en tout point de la surface du cylindre à une constante prés. En déduire l'expression de la resultante des forces exercées par le fluide sur le cylindre. Commenter le résultat.
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[erff]

Bonjour,
Ecoulement irrotationnel donc rot(v)=0 donc il existe une fonction Q, telle que v :

Conservation de la masse :
car écoulement incompressible et stationnaire

Donc c à d

(laplacien de Q)

Maintenant, il te suffit d'exprimer le laplacien en fonction des dérivées partielles..Note cependant que le problème est indépendant de z, et qu'il y a une symétrie par rapport à un plan de normale z.

2) Il suffit de faire Bernoulli entre un point "très loin" du cylindre (vitesse -U) et le cylindre lui même.

[invite4233b79a]

merci je vais tenter de mieux comprendre...

[invite4233b79a]

l'équation de conservation de la masse fait intervenir la dérivée partielles de mu sur dt, pourquoi ne l'a t on pas ici?

une fois que l'on a éxprimée Q comment en dois-je en déduire l'expression du champs des vitesses à la surface du cylindre?

[A voir en vidéo sur Futura]

[erff]

L'ecoulement est incompressible donc D(mu)/Dt=0 donc div(v)=0

On siait ensuite que v=grad(Q) donc si on cpnnait Q, on calcule son gradient et c'est fini...

Par contre la solution de l'equation de laplace promet d'etre assez balaise à trouver...

[invite4233b79a]

mon énnoncé me donne une solution qui est a vérifiér sa m'a tout l'air de bien marcher merci...

Néanmoins lorsque que j'applique bernouilli pour la 2) comment sait on que la vitesse est -U lorsque que l'on est trés loin? Puis avec la formule je suis censer obtenir une équation faisant intervenir les pressions pour ces 2 points,je pense.La réponse s'arréte ici ?

[erff]

Loin du cylindre le fluide est au repos (donc de vitesse nulle)...Donc, dans le référentiel du cylindre, le fluide se déplace à la vitesse -U.x...

L'idée de cette question est de calculer P pour R fixé et theta sachant que R est le rayon du cylindre : la consante vient du fait qu'on ne connait pas la pression "loin" du cylindre, on la notera P0...(je pense que ton champs de vitesse est exprimé en polaire)...Ainsi, on est en mesure de connaitre P(theta)
Il suffira ensuite d'intégrer la pression P(theta) sur la surface du cylindre pour connaître la résultante des forces appliquées...

Tu vas trouver 0N...c'est le paradoxe de l'alembert, car intuitivement, on pourrait penser que le fluide opposerait une résistance au mvt du cylindre.

[invite4233b79a]

ok merci je pense que je vais pouvoir m'en sortir même si sa reste encore un peu flou dans ma tête ^^ merci beaucoup