paradoxe de d'alembert

[invite33ae6c85]

Bonjour tout le monde,
J'ai un écoulement permanent irrotationnel et un fluide homogène et incompressible. Cet écoulement va est pertubé par un cylindre infiniment long ...
Je cherche la pression P d'un point situé dans le cylindre. Je dis que infiniment loin du cylindre j'ai la pression Po et la vitesse Vo Comme je sais d'après Bernoulli et je sais que j'ai une constante...
Alors je choisis un point dans le cylindre de pression P et de vitesse V. Je peux négliger l'énergie potentielle car la différence d'altitude entre les deux points est négligeable... J'obtiens la pression
P=Po +Vo²/2+V²/2 ! Est-ce correct ??

Ensuite je dois trouver la resultante des forces la seule force qui s'applique ici est la pression donc je dois calculer la double intégrale sur la surface du cylindre de P.[smb]vectv[/smb](où n est la normale sortante du cylindre vers le fluide). Donc je dois utiliser le V que j'ai trouvé précedemment en fonction du vecteur radial et orthoradial. Pour faire mon calcul je dois utiliser les deux composante ? seulement l'une des deux ? si oui laquelle ? parce que je dois avouer que j'ai fai les calculs c'est trop compliqué et je ne trouve pas 0 comme il faudrait ...

J'ai du me tromper soit sur la pression soit sur la composante de la vitesse que je dois utiliser ?

Aussi une derniere question coment peut-on expliquer ce paradoxe de d'Alembert ? (je n'arrive pas du tout à visualiser l'explication ...)

Merci d'avance de l'aide
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[invite33ae6c85]

Autant pour moi je me suis trompé en recopiant ma pression c'est plutôt ça que j'ai trouvé !! P=Po +(Vo²/2-V²/2)rho (où rho c'est la masse volumique du fluide!!) Voilà voilà Merci d'avance de votre aide à tous ...

[invite6f25a1fe]

Je ne comprend pas trop ton problème.
Tu as fait les hypothèses suivantes : irrotationnel et un fluide homogène et incompressible. Tu peux donc faire l'hypothèse de fluide parfait en plus (sinon l'hypothèses de fluide irrotationnel n'a aucun sens).

Dans ce cadre, un fluide impactant un cylindre ne crée pas de force vu qu'on est en fluide parfait. Pour trouver une force, on est obligé de simuler les effets visceux en placant un tourbillon élémentaire au niveau du cylindre.
Sinon, il faut faire le calcul sans l'hypothèse de fluide parfait et d'irrotationnel. Mais alors ca devient plus difficile et on n'a plus Bernoulli. IL faut revenir aux équations de NS (mais je suppose que ce n'est pas ce que tu veux vu que tu veux mettre en évidence le paradoxe).

Tu peux aller voir du côté des équations du potentiel en mécanique des fluides, c'est la méthode la plus pratique pour calculer en fluide parfait

[invite33ae6c85]

euh en fait non je dois calculer la pression a l'aide de Bernoulli c'est bien ce qui m'est demandé et ensuite je dois calculer la force résultante surle cylindre ... Je n'ai pas suivi une seule chose de ce ux que tu as dis nous avons très peu avancé en mécanique des fluides ...
Peut-être que je dios simplement trouver comment montrer qu'un fluide parfait n'exerce aucune force sur le cylindre mais comment faire ?? peux-tu m'aide encore un peu s'il te plait ?

Et comment le paradoxe de D'alembert s'explique t-il je n'arrive pas à comprendre la raison du fait qu'aucune force ne s'applique sur ce cylindre ???

Merci d'avance pour l'aide!!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite33ae6c85]

Quelqu'un a une idée pour m'aider svp ???

Merci d'avance

[invite6f25a1fe]

Ok, je parlais de l'utilisation des fonctions de courants (fonctions complexes) qui permettent de résoudre plus facilement ce genre de problème (fluide parfait incompressible)

Comme tu ne l'as pas vu, il faut retourner aux bases : intégrer le champ de pression sur le cylindre. On utilise bien Bernoulli, mais le problème c'est qu'on trouve P fonction de V qui est inconnu (a priori). Il faut donc que tu détermines V.

Pour un cylindre de rayon R, on obtient le champ de vitesse :



On peut remarquer que la vitesse est tangente au cylindre (V.OM=0)

On calcule donc la norme du vecteur vitesse V²=u²+v²
On obtient

Il ne reste plus qu'à intégrer les forces de pression. En général, on passe par les coefficients de pression Kp :
Dans notre cas, on a tout simplement

Lorsqu'on intègre ce Kp selon theta, on voit bien qu'on obtient un coefficient nul, donc une force nulle : on a ni portance ni traînée sur le cylindre. Cela vient du fait qu'on suppose un fluide parfait qui "glisse" sans effort sur l'obstacle : c'est le paradoxe de d'Alembert.

Pour résoudre ce problème, il faut revenir à mon post précédent : au lieu de considérer un champ de vitesse amont uniforme venant impacter un cylindre, on rajoute dans l'écoulement un tourbillon élémentaire qui va venir simuler les forces visqueuses et nous donner un Kp non nul : on aura création de portance (le tourbillon permet en fait de briser la symétrie du problème est permettre ainsi à une force de portance d'exister. Dans le cas sans tourbillon, on ne voit pas pourquoi il y aurait une force vu la symétrie du problème)

[invite33ae6c85]

Ok, je parlais de l'utilisation des fonctions de courants (fonctions complexes) qui permettent de résoudre plus facilement ce genre de problème (fluide parfait incompressible)

Pour un cylindre de rayon R, on obtient le champ de vitesse :



On calcule donc la norme du vecteur vitesse V²=u²+v²
On obtient

Il ne reste plus qu'à intégrer les forces de pression. En général, on passe par les coefficients de pression Kp :
Dans notre cas, on a tout simplement

Pour résoudre ce problème, il faut revenir à mon post précédent : au lieu de considérer un champ de vitesse amont uniforme venant impacter un cylindre, on rajoute dans l'écoulement un tourbillon élémentaire qui va venir simuler les forces visqueuses et nous donner un Kp non nul : on aura création de portance (le tourbillon permet en fait de briser la symétrie du problème est permettre ainsi à une force de portance d'exister. Dans le cas sans tourbillon, on ne voit pas pourquoi il y aurait une force vu la symétrie du problème)

Merci beaucoup de ton aide mais j'ai encore quelques question je me suis permis de mettre en citation les passages qui me sont encore flous ...

En effet je n'ai pas du tout vu les fonctions complexes en méca ...
J'ai en revanche un petit souci avec ton champ de vitesse en effet je suis sur de mon champ de vitesse j'ai verifié dans plusieurs livres etc ... et moi je trouve Vr(r,theta)=v0(1-R²/r²)cos(theta) (cest la composante selon Ur qui je crois correspond à ton u(r,theta) et en ce qui concerne j'ai : Vtheha(r,theta)=-v0(1+R²/r²)sin(theta) (la composante suivant Utheta qui correspond à ton v logiquement ). Comment je peux me ramener à ce que me disais plus haut ? Ou comment faire avec mon champ de vitesses ?

Et aussi je n'ai jamais entendu parler des coefficients de pression ... Est-ce que tu peux m'aider pour le faire d'une autre manière s'il te plait ?

Je suis un peu perdu dans l'explication en fait ... En fait le paradoxe de d'alembert peut s'expliquer car n'importe quel fluide meme l'eau a un peu de viscosité c'est ca ? et le fait que se soit visqueux ca amene un tourbillon ? Enfin là je t'avoue que je suis un peu perdu ... Peux-tu me reexpliquer un peu différemment s'il teplait ...

Merci vraiment beaucoup et d'avance pour toute l'aide!!

[invite33ae6c85]

j'ai oublié une tite précision dans mon précédent post v0 correspond à ton Uo c'est a dire la vitesse d'un point infiniment loin du cylindre ... Voilà maintenant c'est complet!!

Merci d'avance de ton aide (parce que je suis un peu perdu là) Merci encore!!

[invite6f25a1fe]

Peut importe l'expression de ton champ de vitesse. Moi j'ai fait ca rapidement, donc j'ai peut être fait des erreurs. L'important c'est de comprendre la démarche.

En gros, il faut que tu arrives à discerner ce qui est de la physique et des hypothèses, approximations qu'on fait avec les mathématiques qui sont utilisées.

Voici la démarche :

Tu approximes ton fluide par un fluide parfait (viscosité nulle) et incompressible. En réalité, ce n'ai jamais vraiment le cas. L'avantage, c'est que ca permet d'avoir des calculs simples. tu verras plus tard que c'est également la base pour des théories plus compliquées. Par exemple, on rajoutera une couche limite ou on ne néglige plus la viscosité, et hors de cette couche on considèrera le fluide comme parfait (on aura donc deux modélisations différentes du même fluide).

Etape 1 : Calcul fluide parfait : Maintenant que tu as considérer ton fluide comme parfait, tu peux utiliser des outils spécifiques (ex: les fonctions complexes). Dans ton cas, tu utilises l'équation d'Euler et Bernoulli (ce qui donne le même résultat). Tu obtiens un champ de vitesse et de pression. Mais ils sont différents de ce qu'on va trouver dans la réalité puisque tu as fait des hypothèses (fluide parfait) qui vont amener des erreurs. Dans notre cas, le fluide parfait va glisser sur l'obstacle et on se doute qu'on ne va pas trouver des forces sur le cylindre. Et c'est bien le résultat qu'on obtient.

Pour rappel les forces de portance et de traînée sont de la forme :
où Cp est un coefficient sans dimension. Cp est tout simplement l'intégrale sur la surface du Kp que j'ai donné dans mon dernier poste. Si ca te pose un problème, utilise directement la force , tu retombera sur le même résultat. Tu verras plus tard qu'on préfère utiliser les coef Cp et Kp car ils sont sans dimension : on peut donc facilement les comparer (ex : Kp=1 signifie qu'on est sur un point d'arret)

Quoi qu'il en soit, on a trouvé dans notre cas une force nulle. On sait que ca ne correspond pas à la réalité. L'étape suivante est donc de modifier un peu notre modèle pour essayer d'obtenir une résultante non nulle.

Etape 2 : création de portance : On va essayer avec notre modèle d'obtenir une résultante non nulle toujours en fluide parfait (pour avoir des calculs simples). Pour cela, on voit qu'il faut briser la symétrie du problème. C'est là qu'intervient le tourbillon, mais c'est purement mathématique. Le principe du tourbillon, c'est qu'il va nous permettre de créer un survitesse a un endroit, et une souvitesse à un autre. Or différence de vitesse = différence de pression = force de portance.
Voila pourquoi on introduit un tourbillon, pour SIMULER la portance en fluide parfait.

Etape 3 : on modifie encore le modèle : cette fois ci, on ne peut plus travailler en fluide parfait (simple, mais pas assez précis). On revient donc aux grosses équations de N-S pour aboutir à une théorie très importante sur les couches limites. Là, on aura des résultats plus précis et un peu plus physique, mais beaucoup plus compliqué en terme de calcul.

Le paradoxe de d'Alembert est donc uniquement dû au fait d'utiliser un modèle basique de fluide parfait qui ne représente pas assez bien la réalité. En améliorant le modèle, le paradoxe disparait.

[invite6f25a1fe]

Si jamais tu ne comprends pas, ce n'est pas très grave. Tu verras tout ca plus tard. En tout cas, ne t'arrete pas sur les formules, le plus important est que tu comprènes la différence entre fluide parfait et fluide réel

[invite33ae6c85]

Ha non non au contraire j'ai tout compris enfin j'ai tout compris de ce qu'il faut faire pour expliquer le paradoxe de d'Alembert à mon niveau !!! Ha oui tout est clair maintenant vraiment merci beaucoup !!

Cependant j'ai encore un tout petit souci au niveau de mes calculs pour trouver une force nulle (en fait je dois le trouve pour mon exercice c'est pour cela que j'insiste) et en fait je dois prendre ma composante suivant Ur suivant Utheta faire pareil calculer la norme de V et tt ... Mais le problème c'est que apres je dois intégrer ça P=Po +(Vo²/2-V²/2)rho en coordonnées cylindriques ... mais je n'arrive pas du tout à faire les calculs en fait ... je suis bloquée avec des carrés partout et j'ai l'impression que rien ne se simplifie (j'ai un Po dans l'intégrale et tout enfin je ne m'en sors pas du tout j'ai essayé de faire ces calculs au moins 15 fois) ... aide moi encore un peu s'il te plaît ..

Merci d'avance

[invite6f25a1fe]

et moi je trouve Vr(r,theta)=v0(1-R²/r²)cos(theta) (cest la composante selon Ur qui je crois correspond à ton u(r,theta) et en ce qui concerne j'ai : Vtheha(r,theta)=-v0(1+R²/r²)sin(theta) (la composante suivant Utheta qui correspond à ton v logiquement ).

Niveau calcul, ca me semble faux. Je suis à peu près sûr des résultats que je t'ai donné (ou alors on ne parle pas du même problème).
Pour une vitesse uniforme impactant un cylindre en fluide parfait on doit au moins retomber sur des résultats connus :
la vitesse au deux points d'arret (R,0) et (R,180°) doit être nulle.
La vitesse en haut du cylindre (R, 90°) doit être nulle pour v et valoir u=2.Vo
Tu verras qu'avec les formules que j'ai donné ca marche bien et du coup on a des simplifications. L'intégrale que tu as à calculer ne dépend en fait que de theta puisque tu va te pacer sur le cylindre (donc en r=R)
De plus, quand on regarde ta formule pour u, on voit quelle s'annulle pour r=R pour tout theta : c'est clairement faux.

Sinon tu peux aussi poster tes calculs sur le forum, au moins je verrai où est l'erreur.

[invite33ae6c85]

hum le problème qui se pose à moi dans ce que tu dis là c'est que dans n'importe quel livre que j'ai trouvé qui décrit mon problème eh ben je me retrouve avec ce que j'ai calculé en fait ... Je suis parti du fait que rot v = 0 et donc il existe une fonction potentielle de vitesse blablabla ... là l'exo me donne la fonction en question c'est : phi=(Ar+B/r)cos(theta) je suis determiné les constantes A et B en fonction des conditions limites cad que à l'infini v = v0i(où i c'est le vecteur qui indique l'horizontale j etant celui de la composante verticale) et au niveau du cylindre la vitesse est tangente... Donc j'exprime Ur et Utheta en fonction de i et de j... j'utilise le fait que grad phi = v donc j'ai la dérivée de phi par rapport à r qui égal a Vr et j'ai la dérivée de phi par rapport à théta mutiplié par 1/r qui est égal à Vtheta! J'exploite la condition à l'infini (r tend vers infini aussi donc B/r² tend vers 0) ce qui me permet d'obtenir A=v0!! et ensuite j'utilise le fait que au niveau du cylindre r=R et que la vitesse doit etre tangente donc Vr=0 (c'est peut-être là l'erreur j'ai toujours du mal avec cela...c'est peut-être l'autre qui fait 0??) ... et ainsi j'obtiens B=v0xR²... Et voila mon champ de vitesse ... J'ai trouvé ça aussi dans des livres ... Je ne comprends pas mon erreur tu vois toi ??

Merci d'avance de ton aide!

[invite6f25a1fe]

Ha oui, je me suis un peu embrouillé avec les axes, ca m'apprendra a ne pas vouloir faire de schéma.
Au final, tes formules ont l'air de donner ce qu'il faut, donc ca doit être juste.

[invite33ae6c85]

ouf j'ai eu très peur je me demandais ce qui se passait et pourquoi ton raisonnement contredisait tous les livres ^^ lol ... Est-ce que tu peux m'aider pour trouver la résultante égale à 0 je suis totalement paumé ... Je suis depuis je ne sais combien de temps sur ce calcul... donne moi un coup de pouce stp ...

Merci d'avance

[invite6f25a1fe]

Ok, maintenant qu'on est d'accord sur le système d'axe et l'expression du champ de vitesse, on peut continuer.

Tout d'abord, on regarde le vecteur n unitaire perpendiculaire extérieure à la surface (ici rentrant dans le cylindre). on a simplement et
Soit L une longeur élémentaire de ton cylindre, on aura

Donc
(je te laisse faire la même chose pour Fy)

On utilise l'exprssion de p :

On peut prendre Po=0 car ca ne change en rien le problème (la force exercée par une pression constante sur une surface fermée est nulle).
D'où
avec Cp le coef de pression dont je parlais avant Cp=1-V²/Vo²

Or on a calculé que
Donc

Il en vient que

Il suffit maintenant d'intégrer tout ceci entre 0 et ce qui nous donne bien une force selon x (donc une force de traînée) nulle.

Tu peux faire de même avec la force de portance Fy

Petite remarque pour aller plus loin si tu as compris les post d'avant : Pour trouver ton champ de vitesse tu as utilisé les fonctions phi et psi qui viennent du fait que rot(v)=0 et div(v)=0. Phi et psi sont les fonctions potentiels. On peut alors trouver une astuce mathématique qui simplifie beaucoup de chose : on note la fonction potentiel complexe f=phi+i.psi, i le nombre imaginaire.
Ceci amène une théorie assez forte pour traiter le cas du fluide parfait où l'exo que tu as fait à un role central. En effet, on peut montrer que l'on peut déduire les forces de portance et de trainée d'un profil d'aide (profil de joukovski) à partir des portances et traînée sur un cylindre (d'où l'intéret de faire apparaitre ces forces en fluide parfait en utilisant le fameux tourbillon : voila pour la p'tite histoire, c'était juste pour un peu de culture en méca fluide)

[invite33ae6c85]

okay c'est super ça marche du tonnerre j'ai trouvé 0 pour les 2 composantes à quelques petites choses près moi je n'ai pas ton L je l'ai remplacé par autre chose je crois enfin bref j'ai réussi à trouver 0 ^^ ... Par contre quand j'essaie de retrouver ton expression pour la normale je trouve ça (je sais que c'est bon car en plus j'ai trouvé ça dans d'autres livres)mais moi en faisant des dessins etc... Impossible de retrouver ca je me trouve avec l'inverse le cos suivant l'autre composante et le sin suivant l'autre composante ... Est-ce que tu pourrais me préciser un peu plus comment tu obtiens la normale afin que j'ai résolu totalement mon problème ??

(merci pour la petite remarque je pense que je vois à peu près ce que tu veux dire !!)

Merci d'avance de ton aide..

[invited9d78a37]

bonjour

je pense qu'il est possible de relever ce paradoxe sans un seul calcul.

SI un cylindre est plongé dans un écoulement de vitesse infinie U allant de gauche à droite, au vu de la symétrie du cylindre, le profil du champs de vitesse est symétrique entre le bas et le haut (aucune raison d'asymétrie pour un fluide parfait).
Sachant qu'on est en fluide parfait, les lignes de fluides sont les mêmes pour un écoulement allant de gauche à droite que de droite à gauche (hypothèse de réversibilité de l'écoulement). Ce qui veut dire que les particules repasseront par le même chemin de droite à gauche. Le champ des lignes de courant est donc symétrique entre la droite et la gauche. Le champ de vitesse (en intensité |v| ) est alors aussi symétrique entre la droite et la gauche.
On donc une symétrie haut/bas ainsi que droite/gauche de l'intensité du champ de vitesse |v|.
Le champ de pression est radial par rapport au cylindre et a les mêmes symétries, en intensité, que le champ de vitesse (avec Bernoulli).
On a donc une résultante totale nulle des forces de pression et donc aucune force sur le cylindre.

[invite33ae6c85]

bonjour

je pense qu'il est possible de relever ce paradoxe sans un seul calcul.

SI un cylindre est plongé dans un écoulement de vitesse infinie U allant de gauche à droite, au vu de la symétrie du cylindre, le profil du champs de vitesse est symétrique entre le bas et le haut (aucune raison d'asymétrie pour un fluide parfait).
Sachant qu'on est en fluide parfait, les lignes de fluides sont les mêmes pour un écoulement allant de gauche à droite que de droite à gauche (hypothèse de réversibilité de l'écoulement). Ce qui veut dire que les particules repasseront par le même chemin de droite à gauche. Le champ des lignes de courant est donc symétrique entre la droite et la gauche. Le champ de vitesse (en intensité |v| ) est alors aussi symétrique entre la droite et la gauche.
On donc une symétrie haut/bas ainsi que droite/gauche de l'intensité du champ de vitesse |v|.
Le champ de pression est radial par rapport au cylindre et a les mêmes symétries, en intensité, que le champ de vitesse (avec Bernoulli).
On a donc une résultante totale nulle des forces de pression et donc aucune force sur le cylindre.

Oui j'avais déjà vu cette méthode dans de nombreux livres mais les calculs explicites m'étaient demandés ...
Merci tout de même de m'avoir expliqué!!!

[invite33ae6c85]

Scorp : Je ne sais pas si tu as vu mon post (juste avant celui de chewbij)... Je n'arrive toujours pas à comprendre comment tu trouves l'expression de ta normale (même si je suis sur que c'est exact parce que je l'ai trouvé dans plein de livres j'aimerai que tu me l'expliques pour le comprendre ...)

Merci d'avance de ta réponse.