Critère de Cauchy et de d'Alembert

[invite0a45097e]

Bonjour.
J'ai une démonstration à faire et je ne sais pas du tout comment procéder... J'aurai besoin d'un peu d'aide.
Il faut montrer que
lim inf a_n+1/a_n =< lim inf a_n^1/n =< lim sup a_n^1/n =< lim sup a_n+1/a_n où (a_n) est une suite réelle positive.

J'ai essayé durant des heures en passant par la définition de la valeur d'adhérence, en passant par la définition de la limite, par l'absurde... mais rien n'y fait, je ne vois du tout comment procéder.
Merci d'avance .
-----

[invited5b2473a]

Tu veux montrer que (1) <= (2) <= (3) <= (4). L'inégalité (2) <= (3) est très facile.

[invitef3414c56]

Bonjour,

Je vous donne des indications pour la limite inf.

Soit la limite inférieure de . On se place dans le cas où elle est strictement positive. (Si elle est nulle, l'inégalité est claire).

a) Soit , tel que . Montrer qu'il existe N tel que si , on a .

b) En déduire que pour tout , on a .

c) Montrer que si , la racine n-ième de a_n est

d) Conclure.

Cordialement.

[invite0a45097e]

Merci beaucoup !!
Vos indications m'ont été précieuses ! Grand merci à vous !

[A voir en vidéo sur Futura]