Séries: critère de Cauchy

[sylvain6120]

Bonjour,

Je ne comprends pas très bien le critère de Cauchy. Celui-ci dit qu'une suite est convergente si et seulement si pour tout epsilon>0 il existe N tel que pour tout n>N et pour tout p>=0, la somme du n-ième terme au (n+p)-ième terme de la série est plus petit que epsilon.

Ma question est de savoir comment interpréter le "si et seulement si". Sur tous les sites sur lesquels je suis allé me documenter, il est dit que "si et seulement si" est une condition nécessaire et suffisante.
Mais prenons maintenant la série harmonique, qui est divergente, rappelons-le. Cette série satisfait au critère de Cauchy, donc elle convergente, d'où mon incompréhension.
Voila encore une page qui parle de cela: http://www.uel.education.fr/consulta...ie1/titre3.htm
Sur cette page, le "si et seulement si" est remplacé par "il faut et il suffit que". La série harmonique est prise en exemple, et comme cette série est divergente, il est dit que la condition n'est pas suffisante, ce qui me semble en totale contradiction avec le "il faut et il suffit que".

Merci d'avance

Sylvain6120
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[God's Breath]

Bonjour,

Le si et seulement si te dit que le seul cas où une série puisse converger est celui où elle satisfait la condition donnée par le critére de Cauchy.
La condition est nécessaire, c'est-à-dire qu'il faut que la condition soit satisfaite, puisqu'elle fournit le cas de convergence.
La condition est suffisante, c'est-à-dire qu'il suffit que la condition soit satisfaite, puisqu'elle fournit à elle seule le cas de convergence.

Mais prenons maintenant la série harmonique, qui est divergente, rappelons-le. Cette série satisfait au critère de Cauchy, donc elle convergente, d'où mon incompréhension.

La série harmonique ne satisfait pas au critère de Cauchy, donc elle est bien divergente ; c'est bien le propose de la page que tu donnes en référence.

il est dit que la condition n'est pas suffisante

La condition envisagée (qui n'est pas suffisante pour assurer la convergence de la série) n'est pas le critère de Cauchy, mais le fait que le terme général tende vers 0.

[sylvain6120]

Merci, je viens de comprendre. Mon erreur réside du fait que je croyais que la série harmonique satisfaisait au critère de Cauchy (du moment que le terme à l infini tendait vers 0).