limite de la suite des sommes partielles !

[invite4a9059ea]

Bonsoir ;

Comment m'y prendre pour calculer

Je pensais considérer la suite (1/n!) pour ensuite calculer la somme des termes d'une suite arithmétique ou géométrique mais je n'y arrive pas ....


Cdt
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[invite7cd6668c]

Bonsoir,

Connais tu la fonction exponentielle ? ça devrait t'aider...

[invite4a9059ea]

je sais que , comment le montrer par le calcul sans utiliser la fonction exponentielle s'il vous plait ?


Cdt

[invite57a1e779]

sans utiliser la fonction exponentielle s'il vous plait ?

Avec cette restriction, il est difficile d'obtenir le nombre e au bout d'un calcul... enfin, tout dépend de TA définition du nombre e.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7cd6668c]

Sans l'exponentielle j'ai pas d'idée la tout de suite. Il te plait pas l'argument de l'exponentielle ?

[invite4a9059ea]

est ce qu'on peut arriver à cette égalité en partant de cette limite = ....

[Bruno]

Oui en posant x=exp(ln(x)), mais sans exponentielle on risque de tourner en rond.

[invite4a9059ea]

L'idée que j'ai eu c'était de considérer la suite (1/n!) et ensuite de m'intéresser à la somme des termes de cette suite ....
Mais je trouve pas à la fin pour la somme ....

[Bruno]

C'est sans doute parce que



Ces histoires de suite des sommes partielles c'est sympa pour la théorie, pour calculer des séries ça ne sert jamais.

[invite4118db1e]

Bonsoir,

Pour en revenir à l'interrogation initiale, il me semblait que e était par définition la limite de cette série?

A+

[invite57a1e779]

On note :


Alors, pour tout entier :

donc :


Les facteurs du produit appartiennent tous à l'intervalle , donc le produit également ; on en déduit : .

On prouve facilement, par récurrence sur , que :

donc que:

et l'encadrement : prouve que la suite de terme général tend vers 0.

[Bruno]

C'est une des définitions possibles, encore faudrait-il savoir laquelle lémathdabor choisit pour calculer sa série.

[invite4a9059ea]

Merci God's Breath

[invite57a1e779]

Une petite erreur dans ma réponse du message #11.

Il faut lire :



et le bon encadrement еst : avec puisque, d'une part existe et est finie, d'autre part : .

Le théorème dit « des gendarmes » prouve alors que la suite de terme général tend vers 0.