Serie de sommes partielles d'une série

[invite5bcb5821]

Bonjour,
Si nous avons une série de terme général un, de somme donc partielle Sn et de reste d'ordre n, Rn. On suppose que Sn converge vers S, et donc que Rn tend vers 0. Maintenant, nous considérons la série Vn dont le terme général est Rn. Il me semble qu'il existe un résultat qui dit que Vn est aussi convergente (la série des restes). Mais je n'arrive pas à trouver exactement le contenu exact ni une idée sur la démonstration possible. Merci pour toute aide sur cette question.
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[invitea07f6506]

Ca ne me dit rien, et c'est faux dans le cas général (peut-être qu'avec des hypothèses un peu resserrées...). Par exemple, définissons pour tout entier strictement positif :



Alors, on calcule :



Ainsi, on a :

[invite899aa2b3]

On a

Ainsi, si et si la série de terme général converge alors on a la convergence de la série de terme général .