calcul d'une limite avec sommes

[invitebdf64909]

Bonjour, je dois demontrer que la suite un definie ainsi:

est une suite de Cauchy.

J'ai pensé a demontrer que la limite de la differecen de 2 termes qui se suivent est 0.
Don j veux calculer

et


et je devrai trouver 0 dans chaqu'un des 2, et comme ça la limite de la differece serait bien 0, comme dans une suite de Cauchy.

mes questions sont:
1) Comment on calcule ces limites?? (c'est le sigma qui m'emebete, parcq la limite de (sink)/(2^k) est 0 facilement
2)ma methode pourprouver qu'elle est de cauchy est-elle correcte?

merci à l'avance
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[acx01b]

salut

[invitec317278e]

2) le fait que tend vers 0 et le fait que est de Cauchy ne revient pas du tout au même !

[invitebdf64909]

salut

Merci.
Je crois q j'ai compris:

et la some de ceci tendra bien ver 0.
et donc par le theoreme des gendarmes, la limite de ce que je cherche est 0.

c bien ça? merci!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebdf64909]

2) le fait que tend vers 0 et le fait que est de Cauchy ne revient pas du tout au même !

Alors j'ai pas compri...
Suite de cauchy c'est bien que <E avec E petit... donc du coup je pense que ça reveint a que la limite soit égale à 0, non?

[invite57a1e779]

Suite de cauchy c'est bien que <E avec E petit...

Non, une suite de Cauchy, c'est pour p et q assez grands.

[invitebdf64909]

Non, une suite de Cauchy, c'est pour p et q assez grands.

masi donc la limite de est bien 0, non?
et p et q peuvnet etre deux termes qui se suivent...
je suis un peu perdu ...

merci de votre aide!

[invite57a1e779]

Pour établir que que la suite est de Cauchy, il faut majorer pour tout p et tout q, que ces entiers soient consécutifs ou non.

[invitebdf64909]

Pour établir que que la suite est de Cauchy, il faut majorer pour tout p et tout q, que ces entiers soient consécutifs ou non.

d'accord.. j'ai compris... merci beaucoup
mais en tout cas, la limite elle se calcule comment (pour ma culture, lol)?

meerci!

[inviteaf1870ed]

Pour calculer cette somme, je passerai en complexes, et je calculerai ensuite la somme de la série géométrique obtenue.
Dit autrement : soit Vn la suite obtenue en mettant un cosinus à la place du sinus. Vn+iUn est une série géométrique....

[breukin]

L'exercice ne consiste pas à montrer que est de Cauchy à partir de sa formulation explicite.
Mais de majorer (avec pour simplifier).
Donc :

Ce qui établit le résultat.

[inviteaf1870ed]

Oui Breukin, je répondais à la question d'Excalibur qui demandait comment calculer cette somme explicitement.

Mais on oeut aussi dire que c'est la partie réelle d'une somme géométrique complexe de module <1, elle converge et est donc de Cauchy.