Calcul d'une Limite

[invite1c471c22]

Bonsoir tout le monde.
J'aimerais calculer dans le détail, de manière propre une limite.

La fonction est :
f(x) = 2x - (x-1)ln(x-1)

Je cherche sa limite en +oo

Je sais bien que la réponse est -oo, mais je ne trouve pas comment l'expliquer à partir de plusieurs étapes..

Je me demandais s'il ne fallait pas montrer que (x-1)ln(x-1) > 2x, car on sait que
lim 2x = +oo, et lim (x-1)ln(x-1) = +oo aussi.
+oo

Donc lim f(x) = +oo - (+oo), or le deuxième +oo est plus grand que le premier donc lim f(x) = -oo.

Mais c'est trop imprécis...
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[invitef1ec1449]

Slt bin en faite ta juste a factoriser par x-1 et le tour est joué:

(x-1)(2x/(x-1)-ln(x-1)) en +oo |2x/(x-1) tend vers 2
|ln(x-1) tend vers +oo
d'ou (2x/(x-1)-ln(x-1)) tend vers -00
de + (x-1) tend vers +00

or (-00)*(+00) -> -00

d ou lim f en +00 est -00

[Flyingsquirrel]

Bonsoir

Ton idée de départ est bonne. Pour la mettre en œuvre rigoureusement tu peux essayer de factoriser par le terme prépondérant (x-1)ln(x-1) dans l'expression de f.

[invite1c471c22]

Ok, et on peut le faire en factorisant f par 2x ?

f(x) = 2x - (x-1)ln(x-1) = 2x ( 1 - [(x-1)/2x]ln(x-1))
ici lim(x-> +oo) [(x-1)/2x] = 1/2
donc lim(x->+oo) [(x-1)/2x]ln(x-1) = +oo
Donc lim (x-> +oo) 1 - [(x-1)/2x]ln(x-1) = lim(x-> +oo) 1 - (+oo) = -oo
lim(x-> +oo) 2x ( 1 - [(x-1)/2x]ln(x-1)) = lim(x-> +oo) 2x (-oo) = 2(+oo)(-oo) = -oo

C'est correct?

[A voir en vidéo sur Futura]