[TS Spe] PPCM

[inviteea5db5e2]

Bonjour !

Je bloque à la dernière question de mon DM de spé. J'ai montré que dire que

PGCD(x;y) = y - x équivalait à x = k (y-x) et y = (k+1) (y-x)

à partir de là j'ai exprimé PPCM(x;y) = k (k+1) (y-x)

Ensuite j'ai déterminé l'ensemble des diviseurs de 228

D(228) = {1;2;...;114;228}

et on me demande de déterminer tous les couples (x;y) / PPCM(x;y)=228

Je vois bien que c'est { (1;228) ; (2;114) ; ... } mais comment le montrer en se servant de la question précédente avec les k et les (k+1) ?

Vos conseils sont les bienvenus !
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[invite1237a629]

'lut

Le ppcm de 2 et 114 n'est pas 228 mais 114

Par contre, pour la question en elle-même, c'est une autre paire de manches... Tu penses qu'il faut te servir de la question ppcm=k(k+1)(y-x) ? Parce que le fait que le pgcd soit = à y-x c'est un cas très particulier...

Y avait-il des questions entre les deux ?

[bubulle_01]

Bon alors, je n'ai pas vérifié ni regarder la question précédente, j'ai juste regarder la conclusion.
Tu sais que et tu veux résoudre .
Ne suffit-il pas de résoudre ?

[invite1237a629]

Tuuut

PPCM = k(k+1)(y-x) seulement si pgcd = y-x

Chose qui est chelou vu l'énoncé

[A voir en vidéo sur Futura]

[bubulle_01]

D'accord, j'avais pas examiner la relation.
Peut-être qu'il n'y a aucun lien entre les deux questions ...

[inviteea5db5e2]

Si ! Il y a un lien entre les questions : en fait, l'exercice se propose d'étudier les couple (x;y) tels que leur PGCD veut y-x. On étudie quelques cas particuliers, dont je vous ai épargné les détails, puis on montre que les couples solutions vérifient nécessairement : x = k (y-x) et y = (k+1) (y-x)

A partir de là on déduit que le PPCM(x;y)= k(k+1)(y-x).

Et vous connaissez la question qui me bloque... A partir des diviseurs de 228 on recherche tous les couples (x;y) dont le PPCM vaut 228 dont le PGCD vaut y-x.

J'espère que mon énoncé est un peu plus clair...

Merci de votre aide.

[invite1237a629]

J'espère que mon énoncé est un peu plus clair...

Oui, car :

Et vous connaissez la question qui me bloque... A partir des diviseurs de 228 on recherche tous les couples (x;y) dont le PPCM vaut 228 dont le PGCD vaut y-x.

Tu n'avais pas précisé la phrase en gras...

Bon, tu sais déjà que x et y divisent 228, donc ça "réduit" les possibilités (5 diviseurs, ça va, c'est faisable)..

Donc tu cherches ceux dont le pgcd vaut y-x. Or, si c'est le cas, le PPCM (228) est égal à k(k+1)(y-x). Donc y-x divise le PPCM, 228.

Donc regarde ceux dont la différence divise 228 et vois s'ils vérifient les conditions demandées

[bubulle_01]

Ahah t'as vu j'avais raison avant même d'avoir la précision
Je me disais bien qu'il fallait utiliser l'égalité.
Donc, il te suffit de faire comme on t'a dit

[invite1237a629]

Ahah t'as vu j'avais raison avant même d'avoir la précision
Je me disais bien qu'il fallait utiliser l'égalité.
Donc, il te suffit de faire comme on t'a dit

Ben ça paraît évident, mais quand tu vois l'énoncé premier, ce n'est vraiment pas correct de faire ainsi =)

[bubulle_01]

Je sais très bien que c'était faux si on n'avait pas la précision ^^
Mais ca semblait bizarre de faire une petite démonstration sans en utiliser la conclusion ...

[inviteea5db5e2]

Merci de vos réponses.

Si j'ai bien compris, les conditions, pour que sont :

*

*

*

Si c'est bien ça, alors, promis, je vous embête plus ^^...

[invite1237a629]

C'est cela

Enfin pour le troisième point c'est juste la condition "pgcd(x,y)=y-x. La relation d'équivalence n'entre pas en compte, c'est quelque chose de démontré.

[inviteea5db5e2]

Ah... désolé, j'avais dit que j'arrêtais mais j'ai encore besoin de vous... ^^

Problème de rédaction à présent...

D(228)={1;2;3;4;6;12;19;38;57; 76;114;228}

Les couples solution sont (114;228) ; (76;114) ; (57;76) ; (38;57) ; (12;19)

Mais je trouve ca par conjecture... alors coment dois-je rédiger ? Je rappelle les conditions (cf. post précédent) puis je dis que ces couples vérifient les conditions mais je vais quand même pas calculer à tous leur PGCD calculer leur différence et montrer que c'est égal puis montrer que leur PPCM vaut 228 ? Si ? ^^