Petites questions concernant mes révisions.

[invite95e7ea7b]

Bonsoir,

Désolé de vous solliciter ces derniers temps, mais je suis en révisions de mes partiels de mathématiques et probabilités qui débutent en début de semaine prochaine, j'ai donc plein de doutes qui arrivent en m'exercant. J'aimerais donc que vous libériez ces doutes. x)

1/ Lors d'une optimisation (Sans ou avec contraintes) on est bien d'accord que si on a démontré les propriétés de convexité de la fonction en question, peu importe qu'il y ait 1 ou 50 couples de points critiques, ce seront tous des minimums et inversement (maximum) avec concave ?


Je bloque sur la (a) de la question. Il n'y a pas de problème en 0. On s'intéresse donc qu'à la borne infini. On regard, à l'aide du théorème d'équivalence vers quoi peut tendre cette fonction ou une partie de la fonction en l'infini. On sait que par croissance comparé e^x/x tend vers l'infini quand x tend vers l'infini. Ici étant l'inverse, cela va tendre vers 1/l'infini donc 0. Mais en suivant cette méthodologie, cela ne répond pas à la question de convergence ou divergence, je ne retombe pas sur une forme usuelle. Mon raisonnement doit donc être erroné.

(Question H.S. mais on a toujours eu le raisonnement standard de ce dire si ça tombe sur une valeur finie, c'est convergent et infinie divergent. Mais en mathématiques, dans ces cas-ci, si ça tombe sur 0, ce dernier est considéré comme valeur finie ou pas ?).


Cela concerne la seconde question. J'ai trouvé mon c, 4 il me semble. Mais quand on me demande de calculer l'espérance et la variance, cela me donne quelque chose de négatif. Ainsi quand on tombe sur un résultat négatif on conclut simplement qu'elles (Variance et espérance) n'existent pas ou alors c'est que j'ai réalisé une erreur de calcul ?



Je bloque sur ce genre d'exercice en probabilités. En effet, la question 1 me semble trop évidente (1/3) je doute que cela soit la réponse et je n'ai aucune idée concernant la deuxième question.

Voilà. Merci à vous de l'aide future que vous saurez m'apporter. Et désolé du dérangement. Bonne soirée.
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[gg0]

Bonjour.

Je n'ai pas de compétence pour le 1.
2) Effectivement, le fait que la fonction tend vers 0 à l'infini ne prouve pas que l'intégrale converge. Et n'est d'ailleurs pas non plus nécessaire (ne pas confondre avec les séries) : la fonction peut ne pas avoir de limite à l'infini et être intégrable sur .
Donc il faut employer une des méthodes qui permettent de prouver la convergence (voir ton cours à ce propos). Comme c'est une fonction positive, un comparaison avec une fonction dont l'intégrale converge suffira.
NB : Ta photo est trop petite, je ne suis pas sûr de ce qui est écrit : t⁴ exp(-2t) ?

Sinon, 0 est bien une valeur finie, un nombre réel.

3) si tu trouves une espérance négative, pas de problème, sauf si ta variable est positive : erreur de calcul. De même, une variance négative correspond à une erreur de calcul (parfois une imprécision quand on utilise moyenne des carrés moins carré de la moyenne).
Dans ton cas, il y a erreur de calcul, car le 4 est bon.

[invite9dc7b526]

1/ Lors d'une optimisation (Sans ou avec contraintes) on est bien d'accord que si on a démontré les propriétés de convexité de la fonction en question, peu importe qu'il y ait 1 ou 50 couples de points critiques, ce seront tous des minimums et inversement (maximum) avec concave ?

une fonction convexe ne peut avoir au plus qu'un minimum. Elle peut aussi n'en avoir aucun.

[gg0]

3) La question 1 est tellement évidente que tu n'as pas pris le temps de réfléchir. Donc construis l'univers des possibles, de façon que les différents cas soient équiprobables. Définis sur cet univers l'événement A, puis calcule sa probabilité.
Pour la question 2, il faut supposer qu'on a lancé les deux dés pris au hasard. Donc l'univers choisi au dessus est insuffisant. On va construire un univers en prenant des triplets (a,b,c) correspondant aux valeurs des trois dés dans l'ordre premier dé normal, deuxième dé normal, dé pipé. Et on note 0 pour le dé non choisi. par exemple (2,5,0) correspond à l'obtention d'un total de 7 le dé pipé n'ayant pas été choisi. Je te laisse déterminer les probabilités des divers événements élémentaires (*) et finir ..
Il y a sans doute des méthodes plus rapides, celle-ci est sûre.

Cordialement.

(*) tu peux te contenter des seuls cas où le total est bon.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite95e7ea7b]

Je remets les images du coup :

Capture d’écran 2014-12-06 à 17.04.48.png

Je bloque sur la (a) de la question. Il n'y a pas de problème en 0. On s'intéresse donc qu'à la borne infini. On regard, à l'aide du théorème d'équivalence vers quoi peut tendre cette fonction ou une partie de la fonction en l'infini. On sait que par croissance comparé e^x/x tend vers l'infini quand x tend vers l'infini. Ici étant l'inverse, cela va tendre vers 1/l'infini donc 0. Mais en suivant cette méthodologie, cela ne répond pas à la question de convergence ou divergence, je ne retombe pas sur une forme usuelle. Mon raisonnement doit donc être erroné.

Capture d’écran 2014-12-06 à 17.05.45.png

Je bloque sur ce genre d'exercice en probabilités. En effet, la question 1 me semble trop évidente (1/3) je doute que cela soit la réponse et je n'ai aucune idée concernant la deuxième question.

Capture d’écran 2014-12-06 à 17.05.33.png

Cela concerne la seconde question. J'ai trouvé mon c, 4 il me semble. Mais quand on me demande de calculer l'espérance et la variance, cela me donne quelque chose de négatif. Ainsi quand on tombe sur un résultat négatif on conclut simplement qu'elles (Variance et espérance) n'existent pas ou alors c'est que j'ai réalisé une erreur de calcul ?

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Merci à toi gg0. Toujours un plaisir de te lire. Pour te répondre, alors :

1) C'est bien ça la fonction. Normalement, je dois retomber sur une fonction usuelle de Rieman avec 1/x^quelque chose ou m'en sortir avec une équivalence, mais là, je coince. Merci pour la petite précision.

2) Ok, je me suis trompé. Je savais que ce n'était pas la bonne méthode de tout développer pour l'espérance. En effet, j'ai appliqué la méthode où l'intègre sur l'ensemble de définition x*f(x) et là, ne sachant pas primitiver cette dernière, j'ai tout développé pour me retrouver avec plein de x^. Il devait y avoir plus simple, non ?

3) Du coup, ça serait bien ce que je pensais, p(A) = 1/3 ? Pour la seconde question, ainsi, il faut prendre tous les cas (1;6), (2;5) etc ... Je suis perdu quand un exercice nous empêche de faire un arbre comme ici.

Merci à toi minushabens, ainsi, une fonction convexe donnera tout le temps un seul couple de point critique ?

Merci à vous !

[invite9dc7b526]

En fait j'ai répondu trop vite. Si la fonction est strictement convexe, alors elle a au plus un point critique. Si elle est convexe au sens large et si elle est définie sur un ouvert convexe, l'ensemble de ses points critiques est lui-même convexe (éventuellement vide).

[invite95e7ea7b]

Ok, merci. Du coup, si elle est simplement convexe et qu'elle a plusieurs couples de points critiques on peut directement conclure qu'ils seront tous des minimums ?

[gg0]

Dr_Dre,

tu ne lis pas vraiment les réponses ... ni sur la série, ni en probabilités. Pour la série, utilise une comparaison avec une fonction dont l'intégrale converge. Cherche un peu, la remarque que tu as faite sur la limite de x^n exp(-x) sert bien; tu peux aussi utiliser celle de x^6exp(x). mais cherche vraiment ... Tu auras des exercices différents au devoir, il faudra bien trouver seul.

Pour le 2, j'ai intégré en développant. Ça marche très bien.
Pour la 3, quand tu auras fait sérieusement le début (P(A)), tu pourras éventuellement faire un arbre (ou 3 pour que ça tienne).

NB : Tes photos sont les mêmes, illisibles parce que trop petites.

[invite95e7ea7b]

Merci.

Je vais chercher alors. A moins qu'on dise qu'en plus l'infini, via le théorème d'équivalence, on dise que ça sera forcément de la même forme que e^ étant donné que e^ va tendre plus vite que x. Du coup, vu que e^ converge, ça converge.

C'est une erreur de calcul, donc. Autant pour moi. Petite question, on est obligé de développé ici pas d'autres moyens ? Pour limiter l'erreur justement.

Pour les probabilités, j'y réfléchis. A moins qu'on fasse trois branches une pour chaque dé et qu'ensuite on en refasse 2 pour le choix des 2 dés. On aurait donc une probabilité de 1/3*1/2 + 1/3*1/2 + (1/3*1/2)^2 ? Ça serait donc ça ? C'est vicieux quand même.

Par-contre, je réfléchis mais faire un abre, je bloque un peu.

C'était juste pour les remettre comme elles ne sont plus dans le premier message.

[gg0]

Bon, je vais rentrer dans le détail puisque tu ne sembles pas vouloir chercher toi-même :
Pour l'intégrale, tend vers 0 à l'infini. Donc devient inférieur à 1; donc devient inférieur à ...
Rappel : il s'agit de fonctions positives.
Je n'en dis pas plus, si tu as appris tes leçons, c'est ensuite une application immédiate d'un théorème.

Pour l'espérance, à quoi sert de perdre ton temps à chercher une méthode miraculeuse, alors que faire le calcul proprement suffit. Si tu n'es pas capable de faire ça, il faut te forcer à apprendre, ou changer d'études. Après tout, ça ne demande que de faire attention aux règles de calcul (et de les avoir apprises)

Pour les probas, tant que tu proposeras des calculs en espérant "que c'est le bon", tu ne feras pas des probas. C'est comme le reste des maths, il y a des règles. Quand on les applique, on a juste, quand on ne les applique pas, on a faux (sauf coup de chance). Je t'ai proposé une méthode, applique-la. Il y a trois dés, D1, D2, D3, quels sont les tirages de 2 dés possibles ? Sont-ils équiprobables ? Probabilité d'avoir D3 dans le tirage ?

[invite95e7ea7b]

Merci.

Je vais devoir revoir mon cours. J'ai du mal à trouver ce qu'il faut appliquer ici. J'imagine un encadrement vu les indices que tu me donnes, une sorte de théorème des gendarmes qui va me dire que c'est encadré entre 1 donc tend vers 1 donc limite finie donc converge. Je dois ainsi revoir cette partie.

Pour les probabilités, ça serait ce que j'ai dit. On a 1/3 de chance d'avoir un des trois dés. Donc 1/2 de chance ensuite d'en tirer un des deux autres (Le trucage est fait uniquement pour les numéros qu'on obtient au lancer de dé). Donc on fait bien P(D1nD3) + P(D2nD3) + P(D3nD2) + P(D3nD1). Maintenant, je dois réfléchir à P(B).

[gg0]

Eh bien, continue avec tes certitudes extra-mathématiques. Tant pis pour toi ....

[invite95e7ea7b]

Non mais j'essaye de comprendre. Par-exemple pour l'encadrement de la fonction. Mais j'arrive pas à trouver quelque chose de concluant. J'essaye de retrouver par-rapport au croissances comparées mais ça donne rien. L'encadrement je me dis 0<1/e^<1 et pour avoir 0<t^4*1/e^<t^4 mais ça ne me donne rien. J'aurais bien aimé savoir comment tu raisonnais.

[gg0]

"J'aurais bien aimé savoir comment tu raisonnais"
mais tu ne suis aucune de mes indications, tu restes sur tes méthodes (fausse pour la convergence d'intégrales) sans ni reprendre ton cours pour savoir les méthodes, ni en changer.

Alors apprends ton cours (c'est quand même la première chose à faire, avant de faire des exercices ...

[invite95e7ea7b]

Hum. Je réfléchis par-rapport à tes données.

Si on part du principe que t^4e^-t tend vers 0 en l'infini, c'est donc inférieur à 1. Ainsi, on a t^4e^-t < 1. On multiplie donc par e^-t pour retrouver notre fonction initiale, on a alors t^4e^-2t < 1*e^-t = f(x) < e^-t. Or e^-t converge donc on peut en conclure que f(x) convergera aussi. C'est ça le raisonnement ?

[gg0]

Oui, en vertu de quel théorème ?

Pour une rédaction correcte, on notera que l'inégalité 0<f(t)<= e^(-t) n'est valable que pour t>a avec a>0. mais la convergence sur [a;+oo[ implique la convergence sur [0;+oo[.

[invite95e7ea7b]

En vertu du théorème de comparaison. Ok. Merci. Bon, encore une question bête, mais c'est une propriété usuelle que e^-t voire plus largement e^t soit convergent ?

[gg0]

se calcule facilement, et la limite quand aussi. C'est généralement un exemple de cours

[invite95e7ea7b]

Merci. Exemple que je ne semble pas avoir fait sinon, j'aurais pas tant galéré. XD La démonstration c'est celle où l'on est obligé de passer avec la comparaison et le e^-t/2*e^-t/2 ou il y a une méthode plus simple ? Faut que je vérifie dans le cours, je pense trop qu'au théorème de l'équivalence dans ces cas-ci.

[invite95e7ea7b]

Et du coup, c'est la même chose avec e^t ? C'est bon à savoir.

[gg0]

Désolé, je n'ai rien compris à "la démonstration ..."

[invite95e7ea7b]

Je voulais savoir si ça se démontrait encore en décomposant (Ici décomposer e^-t en partant de e^-t/2) pour à l'aide du théorème de comparaison revenir sur du 0 < e^-t < e^-t/2 et vu que cette dernière converge, le tout converge. Ou s'il y avait plus simple.

PS : C'est la même chose avec e^t ?

[gg0]

Tu veux parler de la convergence de ? je t'ai donné la méthode hier (message #18). Manifestement, tu ne connais même pas la définition de "convergent" pour une intégrale, tu ne l'as même pas reconnue !!
A quoi sert de faire des exercices sur ce dont tu ne sait rien de sérieux !

Apprends tes leçons d'abord, tua façon de faire rend ton travail extrêmement compliqué alors même qu'il serait facile ! Tu essaie de mettre le toit de la maison sans avoir fait les fondations !

Apprends ton cours, puis rédige une preuve sérieuse de la convergence de cette intégrale, uniquement appuyée sur les règles de ton cours. Si tu ne fais pas ça, inutile de demander de l'aide : On ne peut pas apprendre à ta place.

[invite95e7ea7b]

Merci. Désolé, je sais que tu prends de ton temps pout répondre et aider, mais j'essaye vraiment en regardant mon cours ! Je pense avoir saisi. Ce qui m'amène à une autre interrogation ! Concernant le théorème de domination.

Prenons un exemple du cours : f(x) = x^2*exp(-x^2). Là encore, il y a problème en l'infini. On utilise le théorème de domination. Dans le cours, j'ai mis e^-x^2 = o(1/x^2). Ensuite, on peut conclure. C'est un peu le même genre d'exemple. Une fois qu'on a le 1/x au carré, ok, je sais comment conclure, mais je n'arrive pas à comprendre comment on manie ce théorème. Comment on passe de notre fonction à ce o(1/x^2). Comment on procède ? Si tu pouvais apporter ta contribution. Merci.

[gg0]

On procède comme on peut.

Dans ton exemple, la fonction tend vers 0 très vite, plus vite que les puissances, d'où l'idée. Dans un autre cas, on fera autrement. On utilise sin intelligence naturelle et ses connaissances en maths pour trouver. Bien évidemment, moins on a appris de règles (cours), moins on a acquis de connaissances utilisables. Et moins on a compris les exemples faute de voir pourquoi on a fait comme ça.
Une connaissance se construit progressivement, pas par accumulation de petits bouts de corrigés d'exercices.

Bon apprentissage !

Au fait : la preuve de convergen ce, ça vient ?

[invite95e7ea7b]

Tu sais, on peut très bien avoir écouté en cours et que la compréhension d'un théorème nous échappe. C'est le cas ici avec la domination. Je ne comprends pas comment on pond la valeur qui est après le o(valeur). Si quelqu'un pouvait me l'expliquer.

Concernant l'expo', on intègre e^-lambda*t entre 0 et x. On primitive, et on voit que ça converge.

[gg0]

Tu sais, on peut très bien avoir écouté en cours et que la compréhension d'un théorème nous échappe. C'est le cas ici avec la domination. Je ne comprends pas comment on pond la valeur qui est après le o(valeur). Si quelqu'un pouvait me l'expliquer.

Fausse question. On prend évidemment ce qui est juste et qui est utile. Le cours est très simple, son application demande évidemment de réfléchir.

Concernant l'expo', on intègre e^-lambda*t entre 0 et x. On primitive, et on voit que ça converge.

Tu viens de recopier mon message #18, ce n'est pas une preuve. Tu n'as même pas donné la primitive, ni dit qu'elle converge.
Donc débrouille-toi seul ...

[invite95e7ea7b]

Bah j'ai pourtant du mal à comprendre ce théorème contrairement à celui de l'équivalence.

Bah pour la primitive de e^-t, c'est -e^-t ... Du coup, tu la bornes entre x et 0. Soit -e^-x + 1. Donc du coup, même si l'un tend vers l'infini, bah ça fera 0 donc toujours 1 au pire.