Normes ...

[invite8c935645]

Bonjour,

J'essaie actuellement de démontrer la relation suivante (et ça fait un bout de temps déjà que je tombe sur une impasse ) :
||A||||A|| = ||A||||(A)|| (*)
valable uniquement pour des matrice carrée 2x2.
(PS: les "1" sont en indice mais je comprends pas pourquoi ici avec LateX ça fonctionne pas de les mettre en indice et c'est pareil pour ce qui suit, les chiffre et le "j" sont en indices mais j'arrive pas à les mettre en indice ... Désolée).

avec la norme définie comme ||A|| = max |a| et dans le cas de A (matrice 2x2),
j'ai que c'est = max{a+a ; a+a}

J'ai pu montrer que ||A||||(A)|| = ||A|| ||A||
Ce qui, je suis quasi sûre car en prenant des exemples concrets de matrice à coefficients dans R (2,5,-4,0 par exemple ...) ça vérifie bien l'égalité :
||A||||A|| = ||A|| ||A||

Mais à partir de là je coince vraiment pour ce qui est de démontrer (*) .
J'ai essayé en explicitant chaque terme de (*) càd en faisant la même chose que lorsque j'ai écrit :
||A|| = max |a|= max{a+a ; a+a} avec les 3 autres normes
mais ça ne démontre pas l'égalité (*) même si en prenant n'importe quel exemple de matrice 2x2, ça marche.
Inutile de rappeler que c'est pas parce que la formule marche avec des exemples qu'on a montré qu'elle est forcément correcte ni même que cela marcherait en fait avec n'importe quel autre exemple) ...

Est-ce que quelqu'un pourrait-il m'aider pour finioler la démo, s'il vous plaît ?

Merci d'avance !
Et si je n'ai pas été très claire dans mon problème, n'hésitez pas à me le signaler (c'est pas toujours évident de résumer sur un forum un prob de math même si ce forum-ci est souvent d'une grande aide ).
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[invite5805c432]

ecrit A matrice 2x2 matrice avec les coefficient (a b \\ c d)

ecrit A^{-1}, marice 2x2.
calcule les termes droite et gauche de l'egalité.

ca doit apparaitre evident.

[invite8c935645]

ecrit A matrice 2x2 matrice avec les coefficient (a b \\ c d)

ecrit A^{-1}, marice 2x2.
calcule les termes droite et gauche de l'egalité.

ca doit apparaitre evident.

Mais c'est exactement ce que j'ai fait : j'ai fini par tout écrire explicitement en espérant que l'égalité (*) apparaisse clairement.
J'ai écrit explicitement la matrice A (mais à la place j'ai choisi d'écrire avec les coefficients a_{ij} au lieu de ab \\ cd mais ça revient au même).

Et j'ai également écrit explicitement A^{-1} et j'ai également explicité les normes || ||_{1} et || ||_{{infini} mais l'égalité (*) n'apparaît pas de façon flagrante de cette façon d'où l'impasse.
C'est pourquoi j'ai essayé la formule avec des exemple concret en écrivant au hasard des matrices 2x2 comme par exemple (1,-2 \\ 0,3) et l'égalité que j'ai trouvé entre norme || ||_{1} et norme|| ||_{infini} fonctionne avec ces exemples mais c'est pas pour autant que j'a démontré l'égalité ...

A mon avis, faudrait trouver une astuce dans la démo car écrire tout explicitement contrairement à ce que je pensais, n'amène à rien pour cette démo-ci ...

Si quelqu'un a une idée de démo je suis vraiment prenante.

[invite8c935645]

Je pense qu'une propriété spécifique des maximums que je ne connais pas mais que quelqu'un connaitrait sur ce forum pourrait peut-être permettre de cloturer la démo.

Parce que c'est au moment où on explicite les normes de chaque côté de l'égalité (*) càd en écrivant tout sous forme de max que ça "coince" : pas que ce soit faux mais que l'égalité (*) n'apparait pas clairement. Or, je vois pas ce que je peux appliquer comme propriété quand on a une égalité suivante (car c'est à ça que j'arrive :

||A||_1 ||A^-1||_1 = ||A||_infini ||A^-1||_infini

qui en explicitant donne :

max {a_11 + a_21 ; a_12 + a_22} max {b_11 + b_21 ; b_12 + b_22} = max {a_11 + a_12 ; a_21 + a_22} max {b_11 + b_12 ; b_21 + b_22} (**)

où les b_ij sont les coefficients de la matrice A^-1 et les a_ij les coefficients de la matrice A.

Cette dernière égalité fonctionne quand on prend des exemples concrets de matrice 2x2 comme par exemple (1,-2\\0,3) mais c'est pas pour autant que cela démontre (**)
Quelqu'un connaitrait une propriété des maximums qui aiderait dans ce cas-ci ?

Quelqu'un aurait-il une idée pour démontrer (**) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5805c432]

l'inverse de A=(a b \\ c d) est A^{-1}=1/(ad-bc) ( d -b \\ c a)

A^t= (a c \\ b d)
A^t^{-1}= 1/(ad-bc) (d -c \\ -b a)

||A||=max( |a|+|b|, |c| + |d|)
||A^{-1}||=1/|ad-bc| max( |d|+|b|, |c| + |a|)

||A^t||=max( |a|+|c|, |b| + |d|)
||A^{-t}||=1/|ad-bc| max( |d|+|c|, |b| + |a|)


l'exo est términé.

[invite8c935645]

l'inverse de A=(a b \\ c d) est A^{-1}=1/(ad-bc) ( d -b \\ c a)

A^t= (a c \\ b d)
A^t^{-1}= 1/(ad-bc) (d -c \\ -b a)

||A||=max( |a|+|b|, |c| + |d|)
||A^{-1}||=1/|ad-bc| max( |d|+|b|, |c| + |a|)

||A^t||=max( |a|+|c|, |b| + |d|)
||A^{-t}||=1/|ad-bc| max( |d|+|c|, |b| + |a|)


l'exo est términé.

Tout simplement merci En fait j'arrivais au même résultat sauf que je prenais des autres notations mais j'aurais du écouter votre conseil d'utiliser a,b,c,d plutôt que les a_ij car ça m'a frappé l'égalité est juste (et je sais pas pourquoi j'étais aussi aveugle juste avant ... avec ce même résultat ...) Merci !

[invite8c935645]

Tout simplement merci En fait j'arrivais au même résultat sauf que je prenais des autres notations mais j'aurais du écouter votre conseil d'utiliser a,b,c,d plutôt que les a_ij car ça m'a frappé l'égalité est juste (et je sais pas pourquoi j'étais aussi aveugle juste avant ... avec ce même résultat ...) Merci !

Finalement j'ai trouvé d'où venait mon erreur (et cela grâce à vos notations propres) : j'avais omis des valeurs absolues ! Heureusement que vous avez tout noté explicitement sinon je serai encore en train de m'arracher les cheveux pour un oubli de valeur absolu ...
Merci !