normes

[invite69d45bb4]

bonjour à tous.

je debute dans les espaces vectoriels normés et je ne comprends pas les demonstrations de la definition de la norme infinie, norme 1,et norme 2.

pouvez vous m'expliquez svp ?

merci par avance.
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[invite899aa2b3]

Bonjour.
Je ne comprends pas ce que tu veux dire. C'est la preuve que ce sont des normes que tu ne comprends pas?

[invite69d45bb4]

oui c'est ca c'est la preuve que ce sont des normes que je ne comprends pas

[invite899aa2b3]

Il faut vérifier les conditions.
Il est clair que ce sont des applications positives.
Pour chacune, il faut montrer que si la norme est nulle alors le vecteur est nul puis l'inégalité triangulaire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite899aa2b3]

Il y a aussi la condition pour tout réel qui doit être vérifiée.

[invite69d45bb4]

pour la norme infinie N inf : (x_1,...,x_n) ---> max{val abs de x_1,...,val abs de x_n}

le debut de la demonstrration donne N inf (x_1,...,x_n) = 0 --->pour tout k appartient à [[1,n]] on a val abs de x_k<= à N inf (x_1,...,x_n)=0 d'où (x_1,...,x_n)=(0,...,0)

là je comprends parce que le max c'est le plus grand element de (val abs de x_1,...,val abs de x_n) c'est à dire qu'il existe val abs de x_k <= N inf (x_1,...,x_n)=0 si on prend au depart N inf(x_1,...,x_n)


ensuite il y a la norme 1 N1x_1,...,x_n)---> sigma de val absolue de x_k pour k variant de 1 à n.


et là pour la demonstration c'est pareil qu'avec la norme infinie cad si N1(x_1,...,x_n)=0 alors pour tout k appartient à [[1,n]] il y a val absolue de x_k <=
N1(x_1,...,x_n)=0 d'où (x_1,...,x_n)=(0,0,...,0)

et c'est pour cette norme 1 que je ne comprends pas pourquoi on a val absolue de x_k<=N1(x_1,...,x_n)=0

[invite899aa2b3]

On ne somme que des termes positifs (des valeurs absolues) donc la somme est nécessairement plus grande qu'un seul terme.