Bonjour,
Dans un espace topologique, dans lequel tout point admet une base dénombrable de voisinages, on a l'équivalence:
x est dans l'adhérence de A
et
il existe une suite (a_n) de points à valeurs dans A qui converge vers x.
Ma question est la suivante: Donner un exemple d'espace topologique pour lequel cette équivalence n'est pas vérifiée.
Merci pour votre aide!
Bonsoir,
Hum et bien je vais peut-être dire une ânerie, mais il me semble qu'il suffit de prendre un espace topologique sans métrique associée... Enfin à moins qu'il soit possible d'imaginer une notion de convergence de suite sans utiliser de métrique, et ça ça m'intéresserai tout autant qu'une réponse à la première question
Merci pour la réponse.
Oui, il existe une notion de convergence de suite dans un espace topologique qui n'est pas métrique. La voici:
(a_n) converge vers x
si et seulement si
pour tout voisinage V de x, il existe N tel que pour tout n>=N, V contient a_n
Bonsoir,
malheureusement, la plupart des espaces topologiques qu'on considère sont à base dénombrable de voisinages.
Je pense donc qu'il ne va pas être si facile de trouver un contre-exemple.
Il y a peut-être des exemples plus simples, mais il me semble qu'avec les ordinaux on peut trouver des exemples :Envoyé par qwerazer
Aucune suite dene converge vers
(
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Merci Médiat.
Je ne connais pas les espaces ordinaux, je regarde ce contre-exemple plus en détail.
pour info un contre-exemple un peu plus simple que celui utilisant les nombres ordinaux.
X = les réels.
Les ouverts sont les complémentaires de parties dénombrables ou finies, et le vide.
A= [0,1]
x = 2
l'adhérence de A est X, donc contient x.
Supposons qu'il existe (a_n) de points de A qui converge vers x, alors soit U le complémentaire de l'ensemble des (a_n).
U est un ouvert qui contient x, donc U contient tous les termes a_n àpartir d'un certain rang. C'est absurde. Une telle suite n'existe donc pas.
