Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 7 sur 7

Caractérisation séquentielle de l'adhérence



  1. #1
    qwerazer

    Caractérisation séquentielle de l'adhérence


    ------

    Bonjour,

    Dans un espace topologique, dans lequel tout point admet une base dénombrable de voisinages, on a l'équivalence:

    x est dans l'adhérence de A

    et

    il existe une suite (a_n) de points à valeurs dans A qui converge vers x.

    Ma question est la suivante: Donner un exemple d'espace topologique pour lequel cette équivalence n'est pas vérifiée.

    Merci pour votre aide!

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    thepasboss

    Re : Caractérisation séquentielle de l'adhérence

    Bonsoir,

    Hum et bien je vais peut-être dire une ânerie, mais il me semble qu'il suffit de prendre un espace topologique sans métrique associée... Enfin à moins qu'il soit possible d'imaginer une notion de convergence de suite sans utiliser de métrique, et ça ça m'intéresserai tout autant qu'une réponse à la première question

  4. #3
    qwerazer

    Re : Caractérisation séquentielle de l'adhérence

    Merci pour la réponse.

    Oui, il existe une notion de convergence de suite dans un espace topologique qui n'est pas métrique. La voici:

    (a_n) converge vers x

    si et seulement si

    pour tout voisinage V de x, il existe N tel que pour tout n>=N, V contient a_n

  5. #4
    Romain-des-Bois

    Re : Caractérisation séquentielle de l'adhérence

    Bonsoir,

    malheureusement, la plupart des espaces topologiques qu'on considère sont à base dénombrable de voisinages.

    Je pense donc qu'il ne va pas être si facile de trouver un contre-exemple.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Médiat

    Re : Caractérisation séquentielle de l'adhérence

    Citation Envoyé par qwerazer Voir le message
    Ma question est la suivante: Donner un exemple d'espace topologique pour lequel cette équivalence n'est pas vérifiée.
    Il y a peut-être des exemples plus simples, mais il me semble qu'avec les ordinaux on peut trouver des exemples :
    Aucune suite de ne converge vers qui pourtant appartient à son adhérence.

    ( est le plus petit ordinal non dénombrable)
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  8. #6
    qwerazer

    Re : Caractérisation séquentielle de l'adhérence

    Merci Médiat.
    Je ne connais pas les espaces ordinaux, je regarde ce contre-exemple plus en détail.

  9. Publicité
  10. #7
    qwerazer

    Re : Caractérisation séquentielle de l'adhérence

    pour info un contre-exemple un peu plus simple que celui utilisant les nombres ordinaux.

    X = les réels.
    Les ouverts sont les complémentaires de parties dénombrables ou finies, et le vide.

    A= [0,1]
    x = 2

    l'adhérence de A est X, donc contient x.
    Supposons qu'il existe (a_n) de points de A qui converge vers x, alors soit U le complémentaire de l'ensemble des (a_n).
    U est un ouvert qui contient x, donc U contient tous les termes a_n àpartir d'un certain rang. C'est absurde. Une telle suite n'existe donc pas.

Discussions similaires

  1. L'adhérence de l'intersection
    Par hani dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 1
    Dernier message: 23/05/2009, 23h48
  2. Caractérisation séquentielle de l'adhérence
    Par Carlos Hooker dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 3
    Dernier message: 05/09/2008, 10h01
  3. Montrer que l'adhérence est...
    Par Maquessime dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 1
    Dernier message: 03/03/2007, 13h04
  4. Caractérisation séquentielle de l'intérieur ?
    Par Gpadide dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 7
    Dernier message: 08/01/2007, 16h29
  5. mesure de l'adhérence
    Par camille g dans le forum TPE / TIPE et autres travaux
    Réponses: 3
    Dernier message: 31/10/2006, 13h59