Les polynômes

[invite304e2ac8]

bonjour
svp on a le polynome P(X)=X^4-5X^3+9X^2-15X+18 on doit montrer que le polynome admet 4 racines complexes j ai montre qu il a 4 racines mais ja i pas su comment faire pour montrer que ces racines sont complexes ?
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[Seirios]

Bonjour,

Par racine complexe, entends-tu qu'elle n'est pas réelle ? Généralement, ce n'est pas le cas, et alors il n'y a essentiellement rien à montrer de plus que ce que tu as déjà fait.

[invite304e2ac8]

donc il suffit de montrer 4 racines ?

[gg0]

Bonjour.

A priori, ce genre de questions sous-entend "non réelles". Donc il faut montrer que ce polynôme a 4 racines dans (c'est quasi évident) mais aucune dans : Une étude de la fonction associée devrait suffire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite304e2ac8]

merci infiniment

[invite7ae44db2]

Bonjour

Il doit y avoir une erreur dans l'énoncé, car le polynome a deux racines réelles entières,
et deux racines complexes.

Topolino

[ansset]

par exemple 2 est solution.

[invite7d8bc1d8]

Bonjour;

Remercions M. ansset pour sa solution x=2. Effectuons alors une division euclidienne
au moyen de la méthode d'O.R.

.....18.....-15.....9.....-5......1.....*****...2
.......0......-9......3.....-3......1

d'où on peut écrire x^3-3x^2+3x-9=0

effectuant le changement de variable x=y+1 on aura alors

..........y^3+8=0

Seconde solution y==-(8^(1/3))=-2(rac)2 soit x=-2(rac)2+1 (lire (rac) =racine)

Effectuant une seconde division euclidienne

....8................0........ ..........0................... .1.......***...-(8^(1/3))

....0..........(8^(2/3))......-(8^(1/3)).............1

on aura y^3+8=(y+8^(1/3))(y^2-8^(1/3)y+8^(2/3)=0

on a pour le trinôme y^2-8^(1/3)+8^(2/3) delta=8^(2/3)-4 (8^(2/3))<0
Donc cela implique bien 2 racines réelles (2 et -8^(1/3)+1) et deux racines complexes.

Cordialement.

[ansset]

bjr OY1:
j'ajoute , tj sans calcul spécifique que f(1)<0
donc il y a forcement au moins 2 racines réelles, sans vérifier si une des deux est double.
ce qui est facile à montrer ou démontrer.

[invite7ae44db2]

Bonjour

Les deux racines réelles et entières du Polynome sont 2 et 3.

Le Polynome se décompose ainsi:

P = (x - 2)*(x - 3)*(x^2 + 3)

Il est négatif entre 2 et 3 et positif ailleur.

Que disait vraiment l'énoncé ?

Tp

[ansset]

bjr OY1:
j'ajoute , tj sans calcul spécifique que f(1)<0
.

désolé, c'était faux, erreur de signe.

[invite7d8bc1d8]

Bonjour ,

Oui vous avez parfaitement raison. Au lieu d'obtenir y^3-8= 0 j'ai fais l'erreur
d'écrire y^3+8= 0 . Donc on obtient bien y=2 et donc x=3 . D'où le résultat
P = (x - 2)*(x - 3)*(x^2 + 3) donné par M. Topolino. Qu'il soit remercier pour cela.

Cordialement.

[invite304e2ac8]

bonjour;
pour la question que j ai posé" on a le polynôme P(X)=X^4-5X^3+9X^2-15X+18 on doit montrer que le polynôme admet 4 racines complexes " au début il faut juste montrer que le polynôme est scindé

[invite304e2ac8]

bonsoir svp j ai une nouvelle question
c le zero du polynome P sinifie que P(c)=0 ???

[ansset]

bonsoir svp j ai une nouvelle question
c le zero du polynome P sinifie que P(c)=0 ???

"c est LE zero" , je ne connais pas cette expression.
as tu une référence de cours ?

[invite304e2ac8]

non j ai pas ça dans mon cour mais je l ai trouvé dans ma série "soit c le zéro du polynôme P"

[ansset]

???? "dans ma série" ? est ce un exercice donné par ton prof , ou un autre trouvé qcq part ?
comme P ( s'il s'agit du même ) s'annule en plusieurs points, il n'y a pas un seul P(c)=0
ou bien s'agit il de P(0) ?
l'expression reste étrange.

[gg0]

En général, on ne dit "le zéro" que si il n'y a qu'une seule annulation. On parle plutôt de racines que de zéros, sauf quand il s'agit d'un dénominateur (les zéros du dénominateur).

Rappel : la différence entre "le" et "un" est importante. "Le " quand il y en a un seul, "un" quand il y en a éventuellement plusieurs (cours d'école primaire).