Bonjour,
j'ai un petit exercice (de cachan...) :
soit P un polynome dans R de degré n à valeurs positives (pour tout x dans R, P(x)>=0). On pose Q=somme n des dérivées successives de P (Q=P+P'+P''+...+P(n)), monter que pour tout x Q(x)>=0.
J'ai essayé à peu pres tout ce que je pouvais mais je n'aboutis à rien... Quelqu'un aurait une piste pour démontrer ce résultat?
Merci
Salut,
Je pense avoir une solution.
D'abord il est clair au vu de la définition deque:
et que
Dès lors on a également
Il est facile de vérifier que
(car
en résolvant cette equation différentielle linéaire d'ordre 1 on trouve
Il est clair que l'intégrale
est convergente car l'intégrande est négligeable devant
sinon on aurait
et donc
Joli...
merci ^^
Voici une autre solution, en s'inspirant de celle de Ker Lannais, mais sans résoudre l'équation différentielle :
On sait que Q=P+Q', donc Q'-Q=-P
Posons f(x)=e-xQ(x); f est du même signe que Q.
On a f'(x)=(Q'-Q)e-x=-P(x)e-x négative pour tout x. Donc f est décroissante sur IR
Or la limite en +infini de f(x) est zéro, donc f(x) positive, et Q également.
Encore plus astucieux... (merci cher prof de maths)
Q=P-Q', Q~P~aX^2p, limite de Q en +/-infini : +infini, toute fonction continue dont les limites en + et - l'infini sont +infini admet un minimum (lemme éventuellement a démontrer). Q admet donc un minimum en a et tel que Q(a)=P(a)-Q'(a), or Q'(a)=0 puisque qu'on a un minimum, donc pour tout x Q(x)>=Q(a)=P(a)>=0...
démonstration du lemme : soit f continue sur IR ayant pour limite en +et- l'infini +l'infini : il existe B tq pour tout |x|>=B f(x)>=f(0).
sur [-B;B] f admet un minimum en a, 0€[-B;B], d'ou f(x)>=f(0)>=f(a)
Merci pour vos réponses
