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TD sur les polynômes



  1. #1
    sensor

    TD sur les polynômes


    ------

    Bonjour.
    J'ai des soucis avec un exo de td sur les polynômes.

    Enoncé:
    Polynômes de Tchebichev
    a) On considère les polynômes To=1 et T1=X
    Montrer que la relation de récurrence Tn+1=2XTn-Tn-1 permet de définir une suite de polynômes (Tn) telle que deg(Tn)=n et que le coefficient dominant de Tn pour n€N* soit 2n-1.

    b)Vérifier que quel que soit n€N, Tn(1)=1 et Tn=(-1)n.

    c) Justifier que (T0, T1, ...Tn) est une base de Rn[X].

    Pour la 1ère question je veux faire par récurrence.
    A un moment j'arrive à deg(2X)+des(Tn)-deg(Tn-1 = 1 + n - deg (Tn-1
    Quel est le deg de Tn-1 ? o ?
    Merci de m'aider.

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    edpiste

    Re : TD sur lespolynômes

    quelle propriété veux-tu montrer par récurrence ?
    Moi, j'essaierai "pour tout entier k inférieur ou égal à n, T_k est un polynôme de degré k".
    Celà dit, ton égalité sur les degrés a l'air un peu louche.

  4. #3
    sensor

    Re : TD sur lespolynômes

    Par récurrence deg(Tn)=n et là j'ai quelques problèmes.

  5. #4
    edpiste

    Re : TD sur lespolynômes

    essaye plutôt la version que je t'ai proposée, tu verras que tu sauras automatiquement quel est le degré de Tn-1...

  6. #5
    ericcc

    Re : TD sur lespolynômes

    Je ne vois pas la difficulté : on veut démontrer "le degré de Tn est n"
    Initialisation évidente
    Hérédité : supposons la propriété vraie pour pour tous les polynômes de degré inférieurs ou égal à n.
    C'est vrai pour Tn et Tn-1.
    Or Tn+1=2XTn-Tn-1. Le degré de 2XTn est n+1. Celui de Tn-1 est n-1. Leur somme est de degré n+1.
    QED
    En fait on peut démontrer de la même manière que le coefficient dominant est 2^n-1

  7. A voir en vidéo sur Futura

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