TD sur les polynômes

[invite56f88dc9]

Bonjour.
J'ai des soucis avec un exo de td sur les polynômes.

Enoncé:
Polynômes de Tchebichev
a) On considère les polynômes To=1 et T₁=X
Montrer que la relation de récurrence T_n+1=2XT_n-T_n-1 permet de définir une suite de polynômes (T_n) telle que deg(T_n)=n et que le coefficient dominant de T_n pour n€N* soit 2^n-1.

b)Vérifier que quel que soit n€N, T_n(1)=1 et T_n=(-1)ⁿ.

c) Justifier que (T₀, T₁, ...T_n) est une base de R_n[X].

Pour la 1ère question je veux faire par récurrence.
A un moment j'arrive à deg(2X)+des(Tn)-deg(T_n-1 = 1 + n - deg (T_n-1
Quel est le deg de T_n-1 ? o ?
Merci de m'aider.
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[invite10a6d253]

quelle propriété veux-tu montrer par récurrence ?
Moi, j'essaierai "pour tout entier k inférieur ou égal à n, T_k est un polynôme de degré k".
Celà dit, ton égalité sur les degrés a l'air un peu louche.

[invite56f88dc9]

Par récurrence deg(Tn)=n et là j'ai quelques problèmes.

[invite10a6d253]

essaye plutôt la version que je t'ai proposée, tu verras que tu sauras automatiquement quel est le degré de Tn-1...

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

Je ne vois pas la difficulté : on veut démontrer "le degré de Tn est n"
Initialisation évidente
Hérédité : supposons la propriété vraie pour pour tous les polynômes de degré inférieurs ou égal à n.
C'est vrai pour Tn et Tn-1.
Or Tn+1=2XTn-Tn-1. Le degré de 2XTn est n+1. Celui de Tn-1 est n-1. Leur somme est de degré n+1.
QED
En fait on peut démontrer de la même manière que le coefficient dominant est 2^n-1