STATS Estimation ponctuelle sans biais de moyenne/écart-type/variance

[KINDERMAXI]

Bonjour,

Je me permet de poster car j'aurais besoin d'un peu d'aide en statistiques inférentielles. En effet, le but du chapitre que je révise consiste en l'estimation de moyenne, variance et écart type selon les intervalles de confiances. Mais pour ça, j'ai besoin en premier lieu de l'estimation ponctuelle sans biais de la moyenne/écart type/variance. Dans mon cours, voici ce qui est noté : on rappelle qu'un estimateur est dit sans biais lorsque sa moyenne est égale au paramètre estimé. Ainsi x barre est une estimation ponctuelle sans biais de µ et s*² est une estimation ponctuelle sans biais de σ² (alors que la variance empirique usuelle est une estimation ponctuelle biaisée de σ²) et enfin s* est une estimation ponctuelle sans biais de σ.

Néanmoins, j'ai beau cherché sur internet je ne trouve pas de formules pour x barre, s*² et s*. Du coup je suis bien ennuyée. D'où ma question : comment calculer ces estimateurs ponctuelles sans biais ? J'ai trouvé ces formules sur internet :
x barre = 1/n * Σ Xi (pour i allant de 1 à n)

Variance :
σ*² = 1/(n-1) (Σ Xi² - 1/n * (Σ Xi)²)

Et donc σ* (l'écart-type) = √σ*²

Est-ce que ces formules sont correctes ?

Merci d'avance !
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[gg0]

Bonjour.

Il faut bien distinguer ici les vraies valeurs de la moyenne et de l'écart type (la variance vraie est donc ) d'une variable X et leurs estimateurs à partir d'un échantillon de n réalisations de X : x₁, x₂, x₃, ...x_n. On choisit comme estimateur de la moyenne , la moyenne de l'échantillon (moyenne empirique) et comme estimateur de la variance, non pas la variance de l'échantillon, mais un estimateur non biaisé , la "variance d'échantillon" (*).
Pour l'écart type, il existe des estimateurs non biaisés, mais comme l'outil statistique utile est la variance, on préfère utiliser un estimateur légèrement biaisé, s, bien relié à l'estimateur de la variance. J'ai bien peur qu'il y ait une reerur dans ton cours.

Cordialement.

(*) En général, on utilise s, pas s*.

[KINDERMAXI]

D'accord, merci des explications. J'ai utilisé s* car dans mon cours (c'est un poly distribué par le prof je précise) il fait la différence entre s*² une estimation ponctuelle sans biais de sigma² en précisant que s², variance empirique usuelle est une estimation ponctuelle biaisée de sigma². D'où la distinction que j'ai faîte. En tout cas merci des explications.

Je demandais juste l'écart-type car dans mon exo de révision, il y a une question nécessitant cette dernière, je cite : (a) donner une estimation ponctuelle sans biais de la moyenne théorique µ ainsi que de l'écart-type théorique sigma.

Voilà, je me suis peut être embrouillée, en tout cas merci de prendre le temps de m'expliquer et de m'aider, je vous en suis reconnaissante.

[gg0]

Tu as peut-être dans ton cours une formule pour l'écart type non biaisé, mais en tout cas, ce n'est pas la racine carrée de l'estimateur non biaisé de la variance : La moyenne des carrés n'est pas le carré de la moyenne (déjà pour 2 valeurs c'est évident).

Mais si tu as cette ânerie dans ton cours et que c'est ton prof qui corrige, tu lui écris ce qu'il veut, c'est lui l'âne.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]