Bonsoir à tous. Je suis sur un exo de stat concernant l'estimation. J'ai pu trouver des réponses mais une grosse partie m'est encore floue.
Voici l'exercice :
On cherche à estimer la fiabilité d'un matériel, c'est à dire sa probabilité p de fonctionner pendant une durée au moins égale à une valeur t fixée à l'avance, soit : p = P(X > t).
On supposera que la durée de vie X de ce matériel suit la loi exponentielle de paramètre 1/.
Pour cela on observe les durées de vie X1, X2, .... Xn de n matériels identiques.
1) Si K est le nombre des Xi supérieurs à t , quelle est la loi de K ? En déduire un estimateur sans biais de p . Quelle est sa variance ? Est-elle minimale ?
2) Montrer que la statistique S définie par : S = est exhaustive pour . En déduire l'expression de l'estimateur sans biais de variance minimale de , puis de p .
3) Application numérique :
Les durées de fonctionnement de 10 matériels identiques, exprimées en heures, valent :
365 | 466 | 1022 | 795 | 2544
1355| 2056 |474 | 453 | 248
Estimer la probabilité de fonctionner au-delà de 1200 heures, d'abord au moyen des cinq premières observations puis de la totalité des observations, avec les divers estimateurs proposés.
Sachant que ces données ont été obtenues par simulation d'une loi exponentielle avec
= 1000 heures, comparer les estimateurs obtenus à la valeur exacte de la fiabilité de ce matériel.
Voici le résultat de mes recherches :
1) K suit B(n,p), E(K) = np, un estimateur sans biais de p est donc T=K/n.
. Mais je ne vois pas du tout comment faire pour dire si cette variance est minimale.
2) Pour un échantillon (x1, ..., xn) donné la fonction de vraisemblance s'écrit :
où h=1, le principe de factorisation permet donc de dire que s est exhaustive pour .
A partir d'ici,je ne vois plus rien.
J'aimerai s'il vous plait des indications pour répondre aux autres questions. Je vous remercie d'avance.