Bonjour j'ai un problème pour la résolution de l'équation différentielle y' = ty avec y(0)=y0.
Le problème est que dans la résolution j'ai du ln(y0), donc y0 doit être strictement positif, mais la solution finale est y' = y0exp(-t^2/2), et en réalité si on considère seulement la solution, on voit bien que y0 peut être négatif.
Salut !
Perso, je trouve y0exp(t²/2), j'ai pas le signe moins.
c'est parce que je me suis trompée l'équation est y' = -ty
OK !
Mais ça change rien, une exponentielle est toujours positive.
ça ne réponds pas à ma question ..
Bonjour Etudiant123.
" dans la résolution j'ai du ln(y0)" ??? pas moi ! Il serait bon que tu nous écrives ici ta "résolution", car je ne vois pas où peut intervenir ce ln(y0). Pour moi, j'ai du y0= ... une fois que j'ai trouvé la solution générale.
Cordialement.
y'/y = -t
J'intègre entre 0 et t ce qui me fait du ln(y(t))-ln(y0) = -t^2/2
Oui !
Et après ?
Eh voilà !
Il n'y a pas de ln(y(t)), donc pas de ln(y0). Il faudrait apprendre quelles sont les primitives de y'/y : ln(y) si y>0 et ... si y<0. Voir un cours de terminale.
Cordialement.
Remarque : On se place bien entendu sur un intervalle où y ne s'annule pas.
c'est vrai on prend la valeur absolue ... merci
mais cela veut dire que y=+/-|y0|exp(-t^2/2) ?
Heu ... comme y(0)=y0, le +/- et la valeur absolue ne se justifient pas.
Finalement, ta méthode élégante (intégrer de à x) te perturbe plus qu'elle ne t'aide. Il vaudrait mieux noter que y est telle qu'un primitive de y'/y, par exemple ln(|y|) est aussi une primitive de t, d'où
ln(|y|) =t²/2+C
d'où |y|=exp(t²/2+C)=exp(C)exp(t²/2)
Et y=k exp(t²/2) où k a le signe de y et vaut +/-exp(C)
Puis, en posant t=0, on trouve que k=y0.
Cordialement.
