Image numérique d'un opérateur continu

[invite2ec0a62b]

Bonsoir à tous,

On considère un espace de Hilbert H et T un opérateur linéaire borné sur H (). On suppose qu'il existe un opérateur unitaire U tel que T^*=UTU^* et on définit

On peut montrer que Num(T)=Num(T^*) et que Num(T) est stable par passage au conjugué. Je voudrai montrer que

Je prends alors un complexe et j'essaie de montrer que est inversible. J'ai réussi à montrer l'injectivité. Il me reste le caractère surjectif. Pour cela, j'essaie d'exploiter la négation de la définition des points adhérents. Je trouve alors qu'il existe d>0 tel que pour tout vecteur u de H de norme 1 :.
Mais je ne vois pas comment ça pourrait me donner la surjectivité.

Bien cordialement.
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[invite93e0873f]

C'est intriguant... il est aisé de montrer que la fermeture du hausdorffien de T est incluse dans la boule de rayon , de sorte que l'opérateur est inversible pour simplement en constatant que la série formelle pour l'opérateur inverse converge dans ce cas. Le problème tient donc surtout à montrer qu'un inverse existe lorsque et ...

En vertu du théorème de Hausdorff-Toeplitz, la fermeture du hausdorffien est convexe, donc il s'agit de l'intersection de toutes les boules fermées le contenant. Il serait donc possible de généraliser un peu l'idée ci-dessus afin de considérer davantage de valeurs , mais cette idée a ses limites...

J'ai l'impression que le résultat est plus général que ce qui est énoncé, en ce sens que j'ai l'impression qu'il devrait tenir pour tout opérateur T, quand bien même ... or, avec ou sans cette hypothèse, je vois bien mal comment démontrer la chose...

Donc, j'ai mené des recherches et je suis tombé sur l'article « The closure of the numerical range contains the spectrum » par E.H.Zarantonello : http://projecteuclid.org/euclid.pjm/...2107#ui-tabs-1. (La version PDF ne fonctionne pas bien pour moi, mais la version DjVU m'est accessible). La preuve générale est faite dans les deux premières pages, le reste du papier consistant à généraliser le résultat grandement. L'idée de base de la démonstrateur est la même que la tienne, mais pour conclure, ce n'est pas trivial...