opérateur linéaire continu

[invite0ae579f9]

Bonjour à tous
ceci est mon premier message ; je viens juste de m'inscrire à ce forum
Une présentation rapide serait de dire que je suis un passionné (de longue date) de mathématiques et de physique, bien que je n'en ai pas fait mon métier puisque je suis neuropsychologue (je travaille avec des personnes autistes, polyhandicapées, âgées et donne quelques cours à la fac)

voila, j'ai une question concernant la définition de continuité des opérateurs linéaires : je suis étonné de la simplicité de cette définition comparée à celle des fonctions à valeurs réelles par exemple ; il suffit donc que l'opérateur soit borné ou soit continu en un seul point (en zéro par exemple) ; pourquoi ? quelle différence y a t-il au fond avec la définition usuelle pour les fonctions ?
si quelqu'un peut me répondre merci beaucoup
steph67700
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[Forhaia]

Bonjour,

la définition de la continuité est la même, malgré les apparences.

Cela vient du fait que le fait d'être linéaire est déjà très contraignant, il est "facile" pour une application linéaire d'être continue (par exemple E est de dimension finie, toutes les applications linéaires de E dans F seront continues (E et F deux espaces vectoriels normés)).

Supposons f application linéaire de E dans F continue en 0.
Il existe tel que pour tout , si , alors .
Mais alors pour tout non nul, on a donc soit (f linéaire) (ce qui reste vrai si x=0).
Comme f(x-y)=f(x)-f(y) pour tout x, y dans E, en appliquant l'inégalité précédente à x-y, on a que f est lipschitzienne, donc continue (fixe y au point où tu étudies la continuité, et ça passe tout seul).