Image d'un ouvert par un opérateur non-borné

[invitec16e9b35]

Bonjour,
Je suis actuellement en train de travailler sur un exercice de topologie qui me donne du fil à retordre et j'apprécierais que quelqu'un me mette sur la piste.

Soit un Banach sur et un opérateur linéaire non-borné.
Il faut montrer que si est un ouvert non-vide quelconque sur , alors .

J'étais parti sur le fait que ne pouvait être complet (Banach) que si il était fermé (du fait des suites de Cauchy convergentes) donc égale à , mais n'est pas forcément un Banach puisqu'il n'est pas fermé.
Toujours est-il qu'il faudrait prouver, par exemple, que ( évident), soit , mais je n'ai pas d'idée pour ce faire.

Pourriez-vous m'éclairer de vos lumières ?

Cordialement
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[inviteea028771]

On peut toujours trouver une boule ouverte dans O, et par translation, il suffit de montrer que l'image de n'importe quelle boule centrée en 0 est R tout entier.

Pour ça, pour tout a dans R il suffit de prendre un élément y tel que |L(y)| > |a| et c'est ensuite facile de construire un élément de la boule qui a pour image a

[Seirios]

Bonsoir,

Si on note B la boule ouverte unitée centrée en l'origine, alors il existe z et r tels que , donc il suffit de le montrer pour la boule B. Pour cela, tu peux utiliser les remarques suivantes : L(B) est convexe, non borné et symétrique par rapport à l'origine.

[invitec16e9b35]

Merci à vous deux pour vos réponses.
J'aurais, néanmoins, quelques questions :

@Tryss : Peut-on toujours, dans une boule ouverte quelconque , trouver un élément tel que avec ? Et dans ce cas est-on sûr que l'ensemble
contient à ?

@Serios : Dans votre cas on souhaite démontrer que ? Par ailleurs vous entendez par un ensemble de ?

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

@Serios : Dans votre cas on souhaite démontrer que ? Par ailleurs vous entendez par un ensemble de ?

Je reprends le raisonnement :

On souhaite montrer que . Comme O est ouvert, il existe et tels que , où est la boule unitée centrée en l'origine ; par conséquent, il suffit de montrer que , et pour cela, les remarques que je mentionne dans mon précédent message suffisent.

[inviteea028771]

Merci à vous deux pour vos réponses.
J'aurais, néanmoins, quelques questions :

@Tryss : Peut-on toujours, dans une boule ouverte quelconque , trouver un élément tel que avec ? Et dans ce cas est-on sûr que l'ensemble
contient à ?

Ton opérateur est non borné, donc on peut trouver un élément de la boule unité dont l'image est aussi grande que l'on veut, et par linéarité, dans n'importe quelle boule B centrée en 0, on peut trouver un élément x dont l'image est aussi grande que l'on veut, par exemple L(x) = c.

Et ensuite, on a pour tout réel a de [-c,c], L(x*a/c) = a, et |x*a/c| < |x|, donc x*a/c est dans B

Et comme c'est vrai pour des nombres aussi grands que l'on souhaite (car L est non borné), L(B) = R