image d'un fermé(ouvert) par un polynome

[art17]

Salut à tous
Soit non constant. Montrer que l'image par P d'une partie fermée (respectivement ouverte) de est fermée (respectivement ouverte).

Pour le cas fermé j'ai trouvé mais j'ai un livre dans lequel ils écrivent ceci pour le cas ouvert : soit U un ouvert de tel que U soit le complémentaire du fermé F alors P(U)=² \ P(F) car P est surjectif (avec théorème de d'Alembert Gauss)

et je ne comprends pas pourquoi P(U)=² \ P(F) Si quelqu'un peut m'expliquer
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[invite899aa2b3]

Bonjour,
par surjectivité (je suppose que tu l'as démontrée) tout élément de admet un antécédent (je ne vois pas pourquoi il y a un carré). Celui-ci est soit dans soit dans donc [TEX]P(U)\cup P(F)=\mathbb{C}/TEX].

[art17]

merci pour ta réponse le carré me dérangeait aussi mais pas seulement car si on considère les racines de P on peut très bien imaginer que certaines soient dans F et d'autres dans U ainsi 0 et 0 donc on ne peut pas avoir l'égalité si?

[invite899aa2b3]

Oui en effet on a le contre-exemple suivant (que tu as du trouver je pense ou alors un similaire) : P(z) =z(z-2) et U = {Re(z)< 1} .

[A voir en vidéo sur Futura]

[art17]

il faut donc refaire une démonstration pour les ouverts ou on peut tout de même déduire ce cas du cas fermé?