Un opérateur sur l'Hilbert l^2

[invite2ec0a62b]

Bonjour à tous,

Sur l'espace l²(Z,C), on considère l'opérateur A=2id-t_g-t_d où t_g et t_d sont les opérateurs de shift à droite et à gauche.
J'ai montré que A est borné, auto-adjoint, et positif (dans le sens où pour toute suite u dans l²(Z,C), <u,Au>>=0).
On nous demande dans un exercice de montrer que la norme de l'opérateur A est égale à 4. J'ai réussi à montrer que c'est inférieur ou égal à 4 mais je bloque pour donner un exemple de suite u₀ tel que |Au₀|=4|u₀| ou un exemple de suite (u^p) d'éléments de l²(Z,C) telle que |Au^p|/|u^p| tende vers 4.

Auriez vous des idées ?

Bien cordialement.
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[Seirios]

Bonjour,

La suite (...,-1,1,-1,1,-1,...) ne convient-elle pas ?

[Universus]

Bonjour,

Il n'existe pas d'élément tel que . En effet, tu as probablement montré que en remarquant que puis en utilisant l'inégalité du triangle ; or, pour que , il faut « qu'une égalité du triangle » tienne, impliquant que , (et ) sont colinéaires. Ceci signifie que est une suite de la forme pour . Or, dès que et sont non nuls, la suite n'est pas de carré-sommable.

Or, ça donne l'idée de la solution : s'il est impossible d'avoir dans , il est néanmoins possible de s'en approcher !

Remarquons que . Pour , la suite est dans si et seulement si . Cela conduit en particulier au cas (et ) suggéré par Seirios. Or, aucune de ces suites « candidates » n'est dans la fermeture de dans , donc on ne peut pas s'inspirer de ces suites ici afin de résoudre le problème.

Ne reste donc plus que la suite comme « idole à imiter ». Pour nos besoins cependant, nous ne pouvons pas l'imiter n'importe comment, l'idée de Seirios suggérant « la » bonne façon de procéder (via une certaine alternance). Je fais une suggestion de suite ci-dessous, mais il vaut probablement mieux réfléchir par toi-même à comment toutes les idées ci-dessus collaborent pour donner (ou ne pas donner) une suite appropriée.

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Pour , soit la fonction valant pour et zéro sinon. Il est aisé de calculer . On constate aussi que vaut pour , vaut pour et vaut zéro autrement, de sorte que . Ainsi,

.

[Seirios]

Effectivement, la suite que je propose n'est même pas dans ... J'aurais pu réfléchir deux minutes avant de répondre

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea028771]

J'aime beaucoup l'expression " idole à imiter "

[Universus]

J'aime beaucoup l'expression " idole à imiter "

J'ai bien peu d'éloquence, mais j'apprécie quand même m'y essayer. Qu'importe le résultat, ça reste un brin comique !

Pour résumer un peu l'essence de mon précédent message, lorsque nous étudions la norme d'un opérateur borné de la forme (avec ), nous ne pouvons espérer* trouver un élément tel que que parmi les espaces propres de . Comme nous l'avons vu, il n'est pas garanti que cette quête puisse toujours être menée à terme, mais cela suggère tout de même de chercher pour une solution « près » des espaces propres.

Dans cette stratégie, il reste encore à identifier « près » de quels espaces propres chercher. La solution de Seirios tient parfaitement dans le domaine élargi des suites bornées et suggère ainsi de porter notre attention sur les suites de carré-sommables ayant une certaine alternance.

Je me questionne quant à savoir si cette stratégie fonctionne bel et bien pour un opérateur L plus général que celui considéré ici... C'est que je n'avais jamais vraiment réalisé toute l'information que les vecteurs propres d'un opérateur recèlent sur la norme dudit opérateur et je suis bien content de le réaliser maintenant !

Cordialement

* Je vais peut-être un peu trop vite en affaire ici

[invite2ec0a62b]

En tous cas, merci pour ces réponses très détaillées !

[invite2ec0a62b]

En continuation à cet exercice, j'ai montré que et que est unitairement équivalent à un opérateur de multiplication sur . De cette dernière proposition, j'ai déduit que le spectre ponctuel de A est vide. Sachant que A est auto-adjoint, il en découle que le spectre de A est égal à son spectre continu. Maintenant, on nous demande de montrer que ce spectre là est exactement le segment [0,4].

J'ai pu montré que , mais je ne sais pas comment conclure.

[Universus]

Bonjour,

Je ne sais pas trop s'il y a une façon de répondre à cette question par des arguments généraux ; je ne suis pas particulièrement calé en analyse fonctionnelle et je profite immensément de tes plus récents fils de discussions pour réfléchir sur ces sujets...

Ceci dit, connais-tu explicitement l'opérateur de multiplication correspondant à ton opérateur ? Par exemple, s'il s'avérait que c'est une fonction continue ayant l'intervalle dans son image, nous pourrions potentiellement démontrer la non-surjectivité de l'opérateur (pour ) en montrant qu'il existe une fonction telle que n'est pas de carré intégrable.

( Si tu connais explicitement cet opérateur M, je présume que c'est parce que tu sais comment « lier » explicitement à ; je sais que des théorèmes comme celui de Stone-von Neumann permettent ce genre de « lien », mais je n'en sais pas plus. Dans ce cas, je te serais fort gré de m'expliquer la construction de ce « lien » ).

[Universus]

Nous pouvons remarquer que s'injecte (linéairement et isométriquement) dans l'ensemble des distributions tempérées via l'application . Nous savons que la transformée de Fourier ( prolongeant ) est un isomorphisme unitaire. Ainsi, en composant la transformée de Fourier avec l'injection ci-dessus (et sachant que , nous obtenons une isométrie unitaire

.

Il s'agit essentiellement de la transformée de Fourier en temps discret.

L'intérêt de cette construction provient du fait bien connu selon lequel la transformée de Fourier envoie les opérateurs différentiels (à coefficients constants) vers des opérateurs de multiplication ; or, notre opérateur d'intérêt est une version discrète d'une dérivée seconde. Cela suggère que l'application U ci-dessus envoie A vers un opérateur de multiplication. Afin de le vérifier, il suffit de remarquer que , que et que , d'où .

Nous voyons bien que ; pour tout , la fonction diverge en au moins un point de l'intervalle . En fait, en considérant ce qui serait ,

,

nous sentons bien que l'intégrande diverge trop pour être intégrable, de sorte que la fonction constante n'est pas dans l'image de l'opérateur « multiplication par ». Bref, ces opérateurs de multiplication ne sont pas surjectifs pour , ce qui montre que cet intervalle fait partie du spectre continu de .