R et l'axiome de l'infini
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R et l'axiome de l'infini



  1. #1
    Amanuensis

    R et l'axiome de l'infini


    ------

    Bonjour,

    Est-ce que cela a un sens de dire que R implique l'axiome de l'infini?

    Une piste serait de partir d'une définition de R formalisable et d'en tirer l'existence d'un ensemble répondant à l'axiome de l'infini

    Par exemple, en partant de

    "Il existe un corps totalement ordonné qui satisfait l'axiome de la borne supérieure" (ou autre caractérisation de R)

    peut-on arriver à exhiber "un ensemble auquel appartient l'ensemble vide et qui est clos par application du successeur x → x ∪ {x}" (ou autre version de l'axiome de l'infini)?

    Cordialement,

    -----
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  2. #2
    Amanuensis

    Re : R et l'axiome de l'infini

    PS: La question est peut-être bien plus simple. Toutes les propriétés de R ne sont pas obligatoirement nécessaire. Par exemple "il existe un groupe commutatif totalement ordonné archimédien" est peut-être suffisant pour impliquer l'axiome de l'infini (1).

    Si la réponse à la question posée message #1 est oui, une sous-question serait de proposer une "sous-structure minimale" de R impliquant l'axiome de l'infini.

    (1) Intuitivement cela semble le cas, mais la question est de passer de l'intuition à la démonstration (ou l'infirmation)!
    Dernière modification par Amanuensis ; 17/01/2015 à 11h30.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  3. #3
    invite9dc7b526

    Re : R et l'axiome de l'infini

    Il me semble qu'un groupe abélien totalement ordonné, s'il n'est pas réduit à {0}, est nécessairement infini. La propriété d'Archimède n'intervient pas.

  4. #4
    Amanuensis

    Re : R et l'axiome de l'infini

    Z/2Z muni de l'ordre tel que 1>0 ne répond-il pas à la définition d'un groupe commutatif totalement ordonné?
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite9dc7b526

    Re : R et l'axiome de l'infini

    non parce que si 0<1 on devrait avoir 1=0+1<=1+1=0

  7. #6
    Seirios

    Re : R et l'axiome de l'infini

    Une précision : dans groupe ordonné, il est sous-entendu que la relation d'ordre est compatible avec la loi du groupe. Si ce n'était pas le cas, ce ne serait pas vraiment intéressant, puisque n'importe quel ensemble peut être totalement ordonné (et même plus).

    On peut montrer qu'un groupe ordonnable est toujours sans torsion, par un argument similaire à celui donné par minushabens.
    Dernière modification par Seirios ; 17/01/2015 à 15h28.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  8. #7
    Amanuensis

    Re : R et l'axiome de l'infini

    Je ne vois pas pourquoi on ne pourrait pas accepter n'importe quel ordre total et ajouter "archimédien". Mais bon, va pour une autre option, cela revient au même pour le but visé.

    On en serait donc à "il existe un groupe commutatif totalement ordonné, ordre compatible avec la loi de groupe" => axiome de l'infini ?

    Démonstration?
    Dernière modification par Amanuensis ; 17/01/2015 à 15h45.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  9. #8
    Seirios

    Re : R et l'axiome de l'infini

    On devrait même pouvoir enlever commutatif. Par contre, il faudrait ajouter non trivial. Dans ce cas, si est un élément non trivial du groupe, alors est un sous-ensemble infini du groupe.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  10. #9
    inviteb3412e7c

    Re : R et l'axiome de l'infini

    On peut donc encore alléger en prenant "un groupe non trivial qui ne contient aucun sous-groupe fini non trivial"

    On enlève la commutativité et l'ordre par dessus le marché!

  11. #10
    invite2ec994dc

    Re : R et l'axiome de l'infini

    Citation Envoyé par arttle Voir le message
    On peut donc encore alléger en prenant "un groupe non trivial qui ne contient aucun sous-groupe fini non trivial"

    On enlève la commutativité et l'ordre par dessus le marché!
    Salut,
    Un tel groupe est isomorphe à (Z,+) (Z l'ensemble des entiers relatifs) et pas besoin d'autant de structure.

    Il suffit de reprendre l'Axiomatique de Dedeking :
    On considère le triplet (0,N,succ) tel que :
    N un ensemble dont 0 est un élément,
    succ une fonction sur N tel que succ injective,
    pour tout sous partie A de N, si 0 dans A et succ(A) inclus dans A, alors A=N (récurrence).


    Cela est suffisant pour construire un ensemble S de cardinale non fini, c'est à dire tel qu'il existe une bijection entre S et une partie U strictement inclus dans S.

    Cordialement.

  12. #11
    invite2ec994dc

    Re : R et l'axiome de l'infini

    PS : j'ai oublié de précisé (même si cela est implicite) que succ fonction de N dans N et que 0 n'est pas dans succ(N), pour plus d'info voir le lien wiki : http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes_de_Peano

  13. #12
    invite2ec994dc

    Re : R et l'axiome de l'infini

    PS : et aussi c'est Dedekind et non Dedeking,

  14. #13
    Amanuensis

    Re : R et l'axiome de l'infini

    La question ne porte pas sur la construction d'un machin infini, mais est de montrer que le postulat d'existence d'un corps totalement ordonné satisfaisant l'axiome de la borne supérieure implique l'axiome de l'infini.

    Pour le moment, l'idée serait que le postulat d'existence de R implique l'existence de (R, +, >) qui est un groupe non trivial totalement ordonné, ce qui impliquerait l'axiome de l'infini. (Non trivial parce que l'élément neutre multiplicatif est différent de l'élément neutre additif, j'imagine.)

    Une construction de N n'implique pas l'existence d'un ensemble infini.
    Dernière modification par Amanuensis ; 19/01/2015 à 06h30.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  15. #14
    invite2ec994dc

    Re : R et l'axiome de l'infini

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    ...Une construction de N n'implique pas l'existence d'un ensemble infini.
    Si, par le paradoxe (proposé par Hilbert) de l’hôtel avec un nombre dénombrable de chambre, qui marche dans le cas de l'axiomatique de Dedekind (ou Peano, les deux sont équivalents).

  16. #15
    invite9dc7b526

    Re : R et l'axiome de l'infini

    annulé ........

  17. #16
    invitedd63ac7a

    Re : R et l'axiome de l'infini

    Citation Envoyé par Amanuensis
    Une construction de N n'implique pas l'existence d'un ensemble infini.
    Effectivement dans le contexte de ZF. Si on peut alors construire dans ZF\{axiome infini} à partir de cette collection d'entiers une collection qui satisfasse vos deux conditions :
    "Il existe un corps totalement ordonné qui satisfait l'axiome de la borne supérieure"
    alors on aura montré que IR n'implique pas l'axiome de l'infini, dans le cas contraire, Si.
    Je n'ai aucune idée de la réponse.

  18. #17
    Amanuensis

    Re : R et l'axiome de l'infini

    Citation Envoyé par eudea-panjclinne Voir le message
    Effectivement dans le contexte de ZF. Si on peut alors construire dans ZF\{axiome infini} à partir de cette collection d'entiers une collection qui satisfasse vos deux conditions :
    "Il existe un corps totalement ordonné qui satisfait l'axiome de la borne supérieure"
    alors on aura montré que IR n'implique pas l'axiome de l'infini, dans le cas contraire, Si.
    Oui.

    Ma question vient bien de là (de savoir quel sens peut avoir construire R sans l'axiome de l'infini), mais je l'ai mise dans le sens R => infini (pour raccourcir), qui me semble plus clair.

    ----

    Un point qui ne m'est pas clair (parmi bien d'autres) est si on peut "structurer" (e.g., lui donner une structure algébrique) une "collection". J'imagine que lorsqu'on parle d'un groupe (G, +), alors G est un ensemble et non une "collection" (1). Par exemple, parler du groupe (Z,+) demande l'axiome de l'infini.

    (1) Pourrait-on commencer une proposition par "quelque soit x appartenant à G" si G est une "collection" ?
    Dernière modification par Amanuensis ; 19/01/2015 à 08h31.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  19. #18
    invite6c250b59

    Re : R et l'axiome de l'infini

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    Une construction de N n'implique pas l'existence d'un ensemble infini.
    Une façon de comprendre ta question serait la suivante: est-ce que la construction de Dedekind, qui consiste grosso modo à dire "je prend une collection ordonnée d'objets et pour chaque paire consécutive je définis un nouveau objet qui est entre les deux", est intéressante quand on l'applique à autre chose qu'à Q?

    Si oui cela semble difficile d'avoir quelque chose d'intéressant avec une collection finie d'entier, par contre il y a peut-être des choses intéressantes avec des collections de nombres bizarres, par exemple une suite finie de k nombres, associés aux entiers selon n(k)=n(k-1)+1/BB(k+cst), où cst est une constante non définie et BB est le castor affairé.

    Mais en fait je ne suis pas du tout certain de comprendre ta question. Par exemple pour moi N c'est N, et N c'est un ensemble infini. Peux-tu montrer un N' qui n'est pas infini et expliquer pourquoi tu l'appelles de cette façon?

  20. #19
    Amanuensis

    Re : R et l'axiome de l'infini

    Citation Envoyé par Jiav Voir le message
    Une façon de comprendre ta question serait la suivante
    Ma question est à comprendre comme elle est posée.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  21. #20
    invitedd63ac7a

    Re : R et l'axiome de l'infini

    Citation Envoyé par Amanuensis
    Pourrait-on commencer une proposition par "quelque soit x appartenant à G" si G est une "collection" ?
    Là sans problème, si représente la collection de tous les ensembles ont peut parfaitement écrire .
    En revanche, je pense que cela deviendra problématique quand on voudra utiliser les propriétés relatives aux ensembles à la collection G. Puisque les axiomes de ZF sont faits pour des ensembles. Mes connaissances s’arrêtent ici.

  22. #21
    invite6c250b59

    Re : R et l'axiome de l'infini

    On poursuit par mp pour ceux que ça intéresse. A+

  23. #22
    Amanuensis

    Re : R et l'axiome de l'infini

    Citation Envoyé par eudea-panjclinne Voir le message
    Là sans problème
    Admettons. Allons plus loin: peut étudier l'assertion "il y a une injection stricte de telle collection vers elle-même?".

    Plus généralement que peut-on "dire" à propos d'un ensemble qu'on ne peut pas "dire" à propos d'une collection?
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

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