Distribution - Lien Signaux continus / discrets

[invitee81f62d4]

Bonsoir,

après de longues années, je me suis remis récemment à mes cours de traitement du signal et j'essaie de comprendre pourquoi on dit que les distributions font le lien entre les signaux continus et les signaux discrets.

Si je prends la définition d'un signal échantillonné avec un peigne de Dirac :



au voisinage de , le signal (qui est une distribution pas une fonction) échantillonné est un Dirac,

et pour "mesurer" la valeur de ce signal en , d'après ce que j'ai compris, il faut intégrer au voisinage (je mets les détails du "calcul") :



en se servant du fait que :



Pourquoi dit-on que la notion de distribution, enfin plutôt de Dirac, permet de généraliser le principe de fonction et d'unifier (utiliser le même formalisme, et la même transformée de Fourier) les signaux continus et discrets ?

Quelle est l'avantage par rapport à une transformée de Fourier discrète qui opère sur une série de points ?

C'est un peu confus tout ça, si quelqu'un pouvait m'éclairer ...

Merci
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[gg0]

Bonjour.

Je vais rester sur un terrain intuitif. Les fonctions habituelles (signaux continus) sont des distributions (au sens où on peut définir une distribution très simple avec elles), donc le calcul qu'on fera en termes de distributions va pouvoir négliger la différence.
L'un des gros avantages est de pouvoir intégrer sur des domaines non limités, et utiliser des transformées de Fourier, qui sont le gros outil de base en traitement du signal.
Une remarque : Si tu veux intégrer un signal continu sur un domaine comprenant de nombreuses périodes d'échantillonnage, il va falloir multiplier ta fonction par un peigne de Dirac pour l'échantillonner, mais ça ne suffira pas. Il faudra aussi diviser par la période d'échantillonnage; on retrouve ainsi les sommes de Darboux (ou Riemann ?). D'ailleurs, très souvent, en traitement du signal, le peigne de Dirac n'est pas seulement une somme de Diracs, mais est justement multiplié par l'inverse de cette période/.

Cordialement.

[GrisBleu]

Bonjour
Le lien est formel (un appareil d'echantillonnage n'utilise pas le peigne de Dirac )
Mais la TF continue d'une fonction multipliee par le peigne de Dirac est a peu de chose pres la TFD du signal echantillone, d'ou le lien et son utilisation pour demontrer le theoreme de Shannon sur la frequence d'echantillonnage
A bientot

[invite5805c432]

cette formule n'est pas acceptable formellement.

l egalité formelle qu'il est autorisé d'utiliser est

je sais \delta est `retenir comme une impulsion, et que physiquement elle est approchable par un pic autour de zéro, très fin, mais
l'intégrale formelle telle que tu as utilisé induit des erreurs. L'intégrale doit partir de -infini à + infini. Le delta peut etre regardé comme "dérivée" d'une fonction Heaviside.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea028771]

Je ne vois pas la différence entre ces deux "integrales"... Peut être parce que ce sont deux horreurs d'un point de vue mathématique

[stefjm]

Je ne vois pas la différence entre ces deux "integrales"... Peut être parce que ce sont deux horreurs d'un point de vue mathématique

Vu l'usage abusif qui en est fait un peu partout ailleurs qu'en mathématique, cela ne doit pas être si horrible que cela.