Matrice

[invitedfaa5703]

Exercice no 2
Soient A,B deux espèces concurrentes sur une même localité. On note
a(t), b(t) leurs effectifs au moment t. Les deux effectifs varient comme
da(t)= αa(t) + βb(t)
dt

db(t)= γa(t) + δb(t)
dt

où α = 0.2, β = −0.4, γ = 0.25, δ = −0.45 et a(0) = 20 et b(0) = 5.
1. Donnez les dimensions physiques des constantes α, β, γ, δ.
2. Donnez une interprétation biologique de ces constantes.
3. Ecrivez le système ci-dessus sous forme matricielle.
4. Trouvez la solution a(t), b(t) du système.



Bonjour tout le monde,

j'ai répondu aux question 1, 2, 3 mais je bloque pour trouver les solutions a(t) et b(t)


j'ai donc

dx(t)/dt= (αa(t) + β b(t))
(δa(t) + δb(t))

ce qui équivaut à dire
dx(t)/dt= A X(t) avec X(t) vecteur ( a(t), b(t))

mais après je bloque?

Quelqu'un pourrait m'aider à trouver a(t) et b(t)

Merci beaucoup
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[invite93e0873f]

Bonjour,

Si dans l'équation nous avions plutôt x une fonction scalaire du temps (plutôt qu'une fonction vectorielle du temps) et A un scalaire constant (plutôt qu'une matrice constante), qu'elle serait la solution ?

[invitedfaa5703]

J'ai tout essayer. Je trouve rien. X(t)=e^At ok mais cela ne me donner toujours pas les valeurs de a(t) et de b(t)

[invite93e0873f]

Bonsoir,

En notant la condition initiale, nous avons pour solution . La matrice A a pour vecteurs propres et correspondant respectivement aux valeurs propres et (je vous laisse vérifier).

Il est possible de décomposer le vecteur comme combinaison linéaire des deux vecteurs propres et, ceci fait, il est assez simple d'appliquer à chacun des vecteurs propres (sur ceux-ci, cette matrice agit par la multiplication par des scalaires bien précis).

Bon travail.

[A voir en vidéo sur Futura]