Equation differentielle

[invitef53905f1]

bonjour pouvez vous s'il vous plait m'aider a resoudre ce probleme:
Soit u une solution au problème de valeur initiale
U_TT - u_xx = 0 dans R ×(0, ∞),
u = g, h = ut en R × {t = 0}.
Pour une position donnée initiale g (x) trouver tous les (le cas échéant) les vitesses initiales h (x) de telle sorte que la solution du problème ci-dessus
aura une forme
u (x, t) = V (x - t)
j'ai essayer avec l'exercice et tout ce que je sait est que grace a la formule de d'Alembert ,la solution est donnée par
u(x,t) = 1/2(g(x + t) + g(x − t))+1/2( ∫x-t x+t h(τ ) dτ )
mais je ne sais pas repondre a la question demandée.pouvez vous m'aider.merci.
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[invite93e0873f]

Bonjour,

Si la solution est de la forme , alors vous avez deux expressions pour : l'une donnée par la condition initiale, l'autre donnée par cette forme de solution. Cela indique que la fonction V est déjà connue ; la dérivée de V par rapport à son argument s'en déduit alors. Afin de conclure, il reste à remarquer que solutionne l'équation de transport .

[invitef53905f1]

bonjour Universus
pouvez vous me rediger la reponse entiere car eneffet j'ai un examen dans trois jour et je n'ai pas la bonne reponse.merci en avance.

[invite93e0873f]

Tous les éléments sont sur la table pour donner une solution détaillée...

Votre examen est peut-être maintenant dans deux jours, mais vous ne risquez pas d'obtenir bien plus d'aide si vous souhaitez simplement que ce forum fasse office de corrigé...

Je peux vous donner la réponse afin que vous puissiez, avec tous ces indices, écrire ici ce qui vous semble être la démarche complète de résolution (vous prêter à cet exercice ne peut que vous aider) : il faut que .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef53905f1]

BONJOUR
voici ma derniere reponce pour la question posée:
toute fonction sous la forme u(x,t)=v(x-t) verifie l'equation differentielle utt-uxx=0
car utt(x,t)= v''(x-t)
et uxx(x,t)=v''(x-t)
deteminons h telque u(x,t)=v(x-t) est solution de l'equation differentielle avec donnée initial
on a u(x,0)=g(x)
et u(x,t)= v(x-t)
implique v(x)=g(x) pour tout x dans R
d'autre part ona ut(x,0)=-v'(x)=h(x) pour tout x dans R
conclusion h(x)=-g'(x) pour tout x dans R.
POUVEZ VOUS ME CORRIGER MA REPONSE.merci en avance

[invite93e0873f]

Ça me paraît bien !