Pouvez-vous me renseigner ?

[invite391b927d]

Hello,

Je voudrais savoir s'il existe une solution analytique à l'équation différentielle suivante :


Merci d'avance pour votre aide.
Cordialement.
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[invite93e0873f]

L'équation admet au moins une solution (analytique sur le domaine ), à savoir . La dépendance en t de cette solution est suggérée en étudiant comment la partie se comporte en dilatant la variable t ou la variable x.

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Autrement, il y a une approche générale pour attaquer une équation différentielle ordinaire d'ordre 2 de la forme :

On écrit et on note que , de sorte que ; il s'agit d'une équation différentielle ordinaire d'ordre 1. Une fois une solution obtenue à cette équation, nous pouvons tenter de résoudre .

Cette technique (remplacer une équation d'ordre 2 par deux équations d'ordre 1) rappelle hautement le passage de l'approche lagrangienne à l'approche hamiltonienne en mécanique classique (si vous êtes familier avec ce contexte tiré de la physique).

Dans votre cas, , de sorte que nous voulons d'abord résoudre , soit encore , qui s'intègre en . Cette solution obtenue, nous souhaitons résoudre , soit encore . Si C'=0, nous retombons sur la solution donnée au premier paragraphe.

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Par curiosité, tentez-vous de résoudre les équations de Newton pour une particule se déplaçant de façon radiale dans un champ gravitationnel central (ou, c'est mathématiquement équivalent, dans un champ électrique statique) ? L'équation de départ aurait cette allure, voilà pourquoi je demande. Dans ce cas, l'équation s'interprète comme la conservation de l'énergie et aurait pu « se déduire directement » de considérations physiques. De mémoire, il n'y a pas de solution simple lorsque C' est non nul (cela correspond à une énergie potentielle maximale non nulle ; d'ailleurs, les solutions C' < 0 sont bornées, tandis que les solutions C' > 0 ne le sont pas, ce qui dénote de la complexité des solutions).

[invite391b927d]

Un grand merci pour ces explications détaillées.
Cordialement

[invite391b927d]

Je me rends compte que je n'ai pas répondu à votre question.

J'aimerais monter une expérience qui prouve que la loi d'attraction de Newton est exacte.
Plaçons deux corps en apesanteur, de vitesse relative nulle, éloignés de tout autre qui pourrait les influencer. Plaçons ces deux corps dans un référentiel qui n'est pas accéléré, notamment qui n'est pas en rotation. Selon la loi de Newton, les deux corps vont se rapprocher l'un de l'autre, en restant sur la droite X qui les relies, en respectant l'équation différentielle .

Mon idée serait de tester cela en orbite autour de la Terre, grâce à un cubesat, c'est à dire à un budget raisonnable.
Reste à imaginer comment réaliser tout cela en pratique.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]