Longueur ellipse

[invitea7f063b2]

bonjour,
en cours j'ai fait un exercice et j'ai un peu de mal à le comprendre
il fallait trouver le périmètre d'une ellipse dont on avait l'équation.
on a diviser l'ellipse en 4, pour ne plus travailler que sur un quart d'ellipse, jusque la d'accord, ensuite, mon prof a pris deux points quelconques A et B sur ce quart d'ellipse, grâce a Pythagore il a calculé la longueur AB.
puis ensuite, et c'est la que je ne comprend pas mon prof a écrit que la longueur de l'éllipse est 4 fois l'intégrale de la distance AB.
pourriez vous m'aider a comprendre?
merci
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[invite5805c432]

il a probablement evalué une formule approchée, ent disant que le perimètre d'un cercle c'est 2pi R, soit dont sqrt(2) pi sqrt(2)R

et que sqrt(2)R est la longueur de la corde correspond à un quart de cercle

qu'en première APPROXIMATION ceci resterait plus moins vrai pour une ellipse. La corde qui relie le quart d'une ellipse fait sqrt(a^2+b^2)

donc on a pour circonférence sqrt(2) pi sqrt(a^2+b^2)

ce qui s'ecrit 2 Pi sqrt((a^2+b^2)/2)


mais tu pouvais lui demander, il sert à ca le prof.

[gg0]

Bonjour.

Tu as dû rater des étapes. Déjà, les points A et B sont infiniment voisin. Si l'un a pour abscisse x, l'autre a pour abscisse x+dx. De ce fait, la longueur de la courbe de A à B et la distance AB sont égales à un infiniment petit du second ordre près (qui n'interviendra donc pas dans l'intégration). Ensuite, l'intégration se fait sur tout l'intervalle de variation de l’abscisse de A.
En fait, ça revient à essayer de justifier la définition de la longueur d'une courbe à l'aide d'une intégrale. Et à le présenter avec des raisonnements difficiles à justifier clairement.
La notion de longueur d'une courbe peut être construite de façon à retomber sur les longueurs des segments et des lignes polygonales, par un procédé de passage à la limite qui les généralise : Si C est une courbe, allant du point A au point B, on considère des suites de points M₁=A, M₂,M₃,...M_n-1, M_n=B, et les longueurs L=M₁M₂+M₂M₃+...+M_n-1M_n. Si L a une limite quand n tend vers l'infini et la plus grande longueur parmi M₁M₂, M₂M₃, ...M_n-1M_n tend vers 0, cette limite est la longueur de la courbe.
Si la courbe est celle d'une fonction continue f, définie sur [a;b], avec A(a,f(a)) et B(b,f(b)), alors on montre que la courbe a une longueur donnée par

C'est ce que donne la méthode de ton prof, s'il a pris le quart d'ellipse comme une courbe de fonction.
Si la courbe est donnée par des équations paramétriques x=x(t);y=y(t), on obtient de la même façon

à condition que x et y soient des fonctions continues de t, t variant de a à b pour avoir la courbe.

Cordialement.

[gg0]

A noter :

Les intégrales donnant la longueur de l'ellipse ne se calculent pas avec des fonctions simples (intégrales elliptiques).

[A voir en vidéo sur Futura]