Espace préhilbertien , besoin d'aide svp

[invite3c03c737]

Bonjour ,
Dites moi si cela est vrai , si oui merci de me donner une démonstration :
Si (E,<>) est un espace préhilbertien , et F un sous espace de E de dimension finie.
Alors F et son orthogonal sont supplémentaires dans E.
Merci.
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[invite83569f81]

Oui c'est vrai !
En cherchant un peu j'ai trouvé cette démo tout à fait claire : http://gilles.costantini.pagesperso-...rs/suporth.pdf (démo en dimension finie uniquement, de toute façon je pense que c'est faux en dimension infinie)

[invite3c03c737]

Oui d'ailleurs j'ai pas préciser la dimension , il suffit que le sous espace soit de dimension finie ,
vous ne pouvez pas me donner une demonstration en cas de dimension infini ?
c'est le cas le plus géneral !
MERCI

[invite3c03c737]

la dimension de E est quelconque dans la démonstration que vous avez donné ,
Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite83569f81]

la dimension de E est quelconque dans la démonstration que vous avez donné ,
Merci

En effet, E peut-être de dimension finie ou non. Si E est de dimension finie, on peut donc écrire dim F^⊥ = dim E − dim F.

En revanche, F doit nécessairement être de dimension finie (autrement F et F^⊥ ne sont plus supplémentaires on peut seulement affirmer que F et F^⊥ sont en somme directe).