espace C-préhilbertien

[invite769a1844]

Bonjour,

une question où je ne trouve point de réponse:

Soit un -espace vectoriel normé.

Si la norme vérifie la règle du parallélogramme (c'est à dire pour tous on a ), est-il un -espace hilbertien?

Merci pour votre aide.
-----

[invite57a1e779]

Bonjour,

une question où je ne trouve point de réponse:

Soit un -espace vectoriel normé.

Si la norme vérifie la règle du parallélogramme (c'est à dire pour tous on a ), est-il un -espace hilbertien?

Merci pour votre aide.

De quel produit scalaire prociendrait alors cette norme ?

[invite769a1844]

De quel produit scalaire prociendrait alors cette norme ?

En remplaçant par , on a vu auparavant que cette norme provient du produit scalaire défini par:

.

[invite57a1e779]

En remplaçant par , on a vu auparavant que ...

Peux-tu donc modifier la définition du produit scalaire pour t'adapter à la nouvelle situation ?
Que vaut dans un espace préhilbertien complexe ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite769a1844]

Peux-tu donc modifier la définition du produit scalaire pour t'adapter à la nouvelle situation ?
Que vaut dans un espace préhilbertien complexe ?

Je ne comprends pas , c'est un réel , non?

[invite769a1844]

il faut que je modifie afin d'avoir , c'est bien ça?

[invite769a1844]

il faut que je modifie afin d'avoir , c'est bien ça?

Enfin il me semble qu'on l'a déjà vu que est à valeurs dans IR.

[invite57a1e779]

Enfin il me semble qu'on l'a déjà vu que est à valeurs dans IR.

Si est un produit scalaire complexe, on a en particulier qui n'est pas particulièrement réel.

Je repose ma question autrement : qu'obtient-on en développant ?

[invite769a1844]

Si est un produit scalaire complexe, on a en particulier qui n'est pas particulièrement réel.

Je repose ma question autrement : qu'obtient-on en développant ?

désolé, j'avais mal compris la question, donc dans un espace préhilbertien complexe, où désigne le produit scalaire associé à :

[invite57a1e779]

Oui !! Peux-tu alors trouver un truc, du même genre, tel que : ?

[invite769a1844]

[invite57a1e779]

On progresse.

On pose donc et

Peux-tu toujours démontrer que, pour des éléments quelconques de , et pour tout réel, on a
et ?

Peux-tu démontrer que, pour des éléments quelconques de , et pour tout réel, on a
et ?

[invite769a1844]

Peux-tu toujours démontrer que, pour des éléments quelconques de , et pour tout réel, on a
et ?

oui je ne vois rien à changer dans la preuve du cas réel.

Peux-tu démontrer que, pour des éléments quelconques de , et pour tout réel, on a
et ?

oui, on voit que ces propriétés sont conservées grâce à la linéarité de et du fait que .

[invite57a1e779]

Tu vois que ce n'est pas si difficile.
Un petit pas de plus : peut-on montrer pour tout complexe ? et avec ?

[invite769a1844]

Tu vois que ce n'est pas si difficile.
Un petit pas de plus : peut-on montrer pour tout complexe ?

là j'ai un souci:

si je prends ,

.

Cela revient donc à montrer que .

Or

[invite57a1e779]

Oui, et c'est bien là où je voulais en venir.

Le seul candidat possible comme produit scalaire fournissant la norme est
.

Plutôt que de te faire démontrer directement que c'est un produit scalaire, ce qui conduit à des écritures difficiles, j'ai introduit les notations et , ce qui permet d'alléger les calculs en les faisant sur de petites expressions, puis de regroupe les résultats à la fin. On voit mieux ce que l'on fait.

Avec ce que tu connais "séparément" sur et , associé aux deux relations qui les lient :
et ,
tu dois pouvoir conclure que est bien un produit scalaire.

[invite769a1844]

Oui, et c'est bien là où je voulais en venir.

Le seul candidat possible comme produit scalaire fournissant la norme est
.

Plutôt que de te faire démontrer directement que c'est un produit scalaire, ce qui conduit à des écritures difficiles, j'ai introduit les notations et , ce qui permet d'alléger les calculs en les faisant sur de petites expressions, puis de regroupe les résultats à la fin. On voit mieux ce que l'on fait.

Avec ce que tu connais "séparément" sur et , associé aux deux relations qui les lient :
et ,
tu dois pouvoir conclure que est bien un produit scalaire.

ok maintenant c'est plus clair, merci pour ce mode guidé

[invite57a1e779]

ok maintenant c'est plus clair, merci pour ce mode guidé

Ravi de t'avoir aidé, reviens si tu as encore des questions sur cet exercice.