éspace préhilbertien

[invitedff4fa84]

Bonjour,
On vient de commencer le cours des espaces préhilbertiens, et je me bloque face à une question, concernante un ensemble des points qui vérifie:
Pour tout x,y d'un espace préhilbertien les réels tq:


si on trouve le plus petit alors tout superieur vérifie l'inégalité, j'ai essayé de chercher le qui verifie l'égalité, mais je ne sais pas comment le trouver, en prenant un couple qlq je ne trouve rien.
-----

[Seirios]

Bonsoir,

Je n'ai pas bien compris : il faut déterminer ou l'ensemble des vecteurs vérifiant cette inégalité ?

[invitedff4fa84]

Bonsoir,

Je n'ai pas bien compris : il faut déterminer ou l'ensemble des vecteurs vérifiant cette inégalité ?

Bonsoir,

Bah l'ensemble , verifiant cette inégalité pour tout vecteurs.

[Seirios]

Je te propose cette solution : en élevant la condition au carré, on obtient ; comme , on a finalement . On remarque alors que l'angle entre les vecteurs x et y ne fait varier que le dénominateur, donc on rend l'expression maximale en prenant x et y orthogonaux, d'où la condition . Comme , on en déduit , maximum qui même atteint pour x=y, donc , ou . Les maxima étant toujours atteints, cette condition est même nécessaire et suffisante.

On aurait pu se douter de ce résultat : on imagine bien que l'on rend la différence entre ||x+y|| et ||x||+||y|| maximale lorsque les vecteurs x et y sont colinéaires, faisant un angle avec l'horizontal, et on retrouve la condition .

[A voir en vidéo sur Futura]